§ 26. Прием усреднения

В основе доказательства глобальной теоремы лежит операция усреднения произвольной непрерывной функции — числовой, операторной или векторной — на группе G. Этот прием в теорию представлений был введен, по-видимому, Гурвицем. Если функция непрерывна на компактном множестве К, то она ограничена (аналог известной теоремы Вейерштрасса); следовательно, среднее значение

где существует. Используя нормировку рассмотрим, в частности, произвольное линей

ное представление группы G в векторном пространстве Для каждого мы получаем возможность построить вектор

который является «центром тяжести» множества всех точек Нетрудно видеть, что вектор является инвариантом группы G. Действительно, центр тяжести множества точек совпадает с центром тяжести множества точек Более формально,

в силу левой инвариантности меры Хаара, и наше утверждение доказано. Отсюда следуют:

Лемма 1. Если в пространстве V не содержится ни одного ненулевого инварианта, то

Лемма 2. В общем случае линейный оператор является оператором проектирования на подпространство , состоящее из всех инвариантов пространства

Доказательство леммы 1 очевидно. Для доказательства леммы 2 достаточно заметить, что постоянный вектор х можно вынести из-под знака интеграла, откуда

где постоянный линейный оператор. Поскольку

то оператор действительно является проекционным и область его значений совпадает с подпространством (в частности, т. е. преобразование тождественно на Леммы 1 и 2 доказаны.

Рассматривая, в частности, преобразование

порожденное представлением в классе билинейных или в классе полуторалинейных форм и применяя к нему прием усреднения, находим форму обладающую следующим свойством инвариантности:

для любого и любых х, у. В частности, пусть пространство V комплексно и форма положительно определена. Если квадратичная форма положительно определена, то форма также обладает этим свойством; действительно, ясно, что кроме того, если

то в силу неотрицательности подынтегральной функции она тождественно равна нулю, откуда, в частности, при находим что возможно только при Поскольку в конечномерном линейном пространстве положительно определенная эрмитова форма всегда существует, то мы получаем, что имеет место

Лемма 3. В пространстве любого конечномерного линейного представления компактной группы G всегда существует инвариантная положительно определенная эрмитова форма.

Выбирая эту форму в качестве скалярного произведения (х,у), находим, что представление относительно унитарно. Поскольку всякое скалярное произведение диагонализуется в некотором базисе, то матрица

записанная по отношению к этому базису, унитарна. Наконец, как мы видели в § 16, следствием унитарности является полная приводимость. Следовательно, вполне приводимо, и мы доказали свойство 3 из глобальной теоремы.