§ 20. Лемма Шура

Условимся рассматривать линейные (конечномерные) пространства только над полем комплексных чисел. Следующая простая лемма принадлежит одному из основателей теории представлений, немецкому алгебраисту И. Шуру:

Лемма Шура. Допустим, что два неприводимых представления группы G связаны соотношением

где - линейный оператор. Если эти представления неэквивалентны, то если они эквивалентны, то А определяется однозначно с точностью до умножения на число.

В частности, если то где единичный оператор.

Доказательство. Пусть линейные пространства, в которых действуют представления ; тогда мы имеем отображение

Пусть ядро и образ оператора (т. е. совокупность всех векторов , для которых и совокупность всех векторов ). Ясно, что инвариантно в инвариантно в Если то равенства исключаются. Следовательно,

в силу неприводимости Полученные равенства означают, что оператор взаимно однозначно отображает X на У. Следовательно, существует и

т. е. представления эквивалентны. Докажем единственность оператора Поскольку эквивалентны, мы можем отождествить Если удовлетворяют условию то оператор удовлетворяет этому условию при любом Как мы видели выше, либо либо существует. Но если корень уравнения то оператор С вырожден.

Следовательно, в этом случае Лемма доказана.

Последнее утверждение леммы самостоятельно формулируется следующим образом:

Если линейный оператор А перестановочен со всеми операторами неприводимого представления то он кратен единичному.

Отметим теперь несколько следствий из леммы Шура.

Следствие 1. Если группа коммутативна, то все ее неприводимые представления (над полем комплексных чисел) одномерны.

Действительно, каждый оператор перестановочен со всеми операторами и потому кратен единичному. Следовательно, Но в этом случае всякое одномерное направление инвариантно. Следовательно, размерность пространства равна 1.

Следствие 2. Пусть два неприводимых представления группы G. Тензорное произведение

содержит ненулевой инвариант только в том случае, когда представления контрагредиенты, и этот инвариант определяется однозначно с точностью до множителя.

Действительно, как мы видели в § 16, тензорное произведение может быть реализовано формулой

в классе прямоугольных матриц Условие инвариантности может быть переписано в виде

где представление, контрагредиентное Следовательно, согласно лемме Шура либо либо

эквивалентны, и искомый инвариант определяется однозначно с точностью до множителя.

Замечание. Если отождествить то представление записывается в виде

откуда ясно, что искомым инвариантом является матрица, кратная единичной. Если вместо рассматривать дуальное представление, реализованное в классе линейных форм то ясно, что искомым инвариантом является форма

определяемая с точностью до множителя.

Для формулировки очередного следствия введем вначале следующее определение. Пусть произвольное множество матриц в векторном пространстве Совокупность состоящая из матриц, каждая из которых перестановочна со всеми матрицами из называется коммутаторной алгеброй множества (действительно, как следует из этого определения, множество является алгеброй).

Следствие 3. Пусть вполне приводимое представление в пространстве где неприводимые подпространства. Тогда коммутаторная алгебра представления состоит из всех операторов А, имеющих вид

где оператор обращается в нуль на всех подпространствах и отображает , а произвольные числа. При этом оператор осуществляет отображение эквивалентности между неприводимыми представлениями в и Следовательно, если эти представления неэквивалентны, то

Для доказательства достаточно представить все операторы в блочном виде, соответствующем разбиению и применить лемму Шура.

В частности, если представление кратно неприводимому представлению то оно при подходящем выборе базиса может быть записано в виде

где диагональные блоки матрицы Ясно, что в этом случае все операторы записываются в виде единичных матриц (если - отождествляется с и оператор А принимает вид

где единичная матрица порядка размерность представления произвольные числа. Заметим, что после перенумерации базиса эта матрица становится блочно-диагональной с одинаковыми блоками Коммутаторная алгебра имеет в этом случае размерность

В общем случае мы группируем эквивалентные компоненты и получаем запись оператора А в блочно-диагональном виде:

где каждый блок имеет структуру, описанную выше. Коммутаторная алгебра имеет в этом случае размерность где кратность, с которой встречается неприводимое представление

Сопоставляя полученные результаты, мы видим, что коммутаторная алгебра несет в себе большую информацию о структуре представления . Зная мы можем легко определить все подпространства, неприводимые относительно найти их число и размерность. В частности, коммутаторная алгебра диагонализуется тогда и только тогда, когда представление не содержит ни одной пары эквивалентных компонент; представление неприводимо тогда и только тогда, когда коммутаторная алгебра состоит из матриц, кратных единичной (обращение леммы Шура).

Анализируя проведенные рассуждения, мы видим, что они нигде не опираются на специальные свойства представления, а оперируют с понятиями приводимости и полной приводимости, которые можно перенести на произвольные множества матриц. Эта точка зрения будет несколько подробнее изложена в следующем параграфе.

Упражнения

(см. скан)