§ 3. Унитарная симметрия в классе адронов

После многочисленных попыток обобщения понятия изотопического спина М. Гелл-Манном и независимо И. Нейманом в 1961 г. была предложена, по-видимому, наиболее удовлетворительная модель, основанная на рассмотрении унитарной группы . В этой модели аддитивными квантовыми числами являются проекция изотопического спина и гиперзаряд. Кроме того, рассматриваются полный изотопический спин (старший вес подгруппы и так

называемый унитарный спин, задаваемый двумя целыми числами (старший вес группы

1. Начнем с рассмотрения барионов. Среди барионов выделяются следующие подсистемы частиц: 1) -гиперон (инвариант изотопической группы); 2) нуклоны (изотопический спин 1/2); -частицы (изотопический спин 1/2); 3) -частицы (изотопический спин 1). По терминологии, принятой у физиков, мы имеем синглет, 2 дублета и один триплет. Иначе говоря, мы имеем следующее представление группы

где означает неприводимое представление со старшим весом I. Все указанные частицы обладают той замечательной особенностью, что их массы имеют близкое значение (но не равны). Внутри каждого неприводимого представления массы можно считать приблизительно равными (в рамках сильного взаимодействия). Приближенно мы имеем следующее:

(в некоторых единицах), причем символ отвечает подсистеме нуклонов.

Сделаем теперь следующее важное допущение. Предположим, что существует некоторое идеализированное «ультрасильное взаимодействие» ([150]), при котором массы всех указанных восьми частиц являются равными. Тогда представление а принадлежит одному и тому же собственному значению некоторого гипотетического гамильтониана Заметим теперь, что формула совпадает с сужением на неприводимого представления группй т. е. присоединенного представления этой группы. Нельзя ли отсюда сделать вывод, что указанный октет (восьмерка) частиц обладает свойством -симметрии?

2. Займемся формальным анализом представления Это представление естественно реализовать в классе матриц со следом, равным нулю. Формула определяет скалярное произведение векторов (матриц) х, у, инвариантное относительно При сужении на с действием на индексы получаем следующие инвариантные подпространства:

Все эти подпространства взазимно ортогональны. Кроме того, если все указанные координаты , кроме одной, положить равными нулю, то мы получаем ортогональный базис во всем пространстве представления. Этот базис станет ортонормированным (как легко проверить), если положить а все остальные координаты оставить прежними. В результате получаем следующую параметризацию произвольной матрицы

Рассмотрим теперь инфинитезимальные операции группы Расширяя эту группу до имеем «генераторов» (базисные инфинитезимальные операторы, введенные в гл. VI). Особую роль играют диагональные операторы образующие базис в картановской подалгебре. Вместо этих операторов нам будет удобно рассматривать следующие их линейные комбинации:

Используя тензорный аппарат для (см. § 45), читатель без труда найдет веса всех базисных функций в пространстве матриц х, т. е. собственные значения операторов . В частности, оператор определяет веса для подгруппы преобразующей индексы I, 2. Оператор С является скаляром (оператор Казимира для Оператор принимает значение для синглета и триплета и значения ±1 соответственно на первом и втором дублетах.

3. Теперь мы получили формальную схему, при помощи которой волновую функцию октета можно отождествить с вектором х. Оператор То отождествляется с проекцией изотопического спина. Оператор У отождествляется с гиперзарядом (что соответствует экспериментальным данным). Оператор отождествляется с электрическим зарядом частицы. Мы получаем интерпретацию важнейших аддитивных физических величин в рамках группы

Теперь принимается гипотеза об -инвариантности (в действительности даже -инвариантности, но это различие несущественно). Эта гипотеза приводит, в частности, к законам сохранения операторов Казимира группы В частности, квадратичный оператор Казимира отождествляется (при некоторой нормировке) с гамильтонианом Существенно, однако, что величина является инвариантом только в рамках -симметрии, т. е. при идеализированном «ультрасильном» взаимодействии.

4. Мы переходим к важнейшему вопросу о «снятии вырождения» по массе, т. е. к объяснению реальной разницы между массами барионов. Будем искать реальный гамильтониан в виде Подбор осуществляется по формуле

где черта означает комплексное сопряжение. Таким образом, предполагается, что сильное взаимодействие, по сравнению с ультрасильным, особым образом действует на индекс Полагая в матрице х все координаты равными нулю, кроме одной, мы получаем для каждой элементарной частицы соответствующее приращение массы Несложное вычисление приводит к следующим результатам:

Мы получили так называемую «массовую формулу Гелл-Манна - Окубо». Используя приведенную выше таблицу для масс, читатель легко проверит, что эта формула выполняется в хорошем приближении, если положить

Мы изложили классификацию октета барионов ) с точки зрения группы Наряду с этим октетом мы имеем также соответствующий октет античастиц. Оба октета эквивалентны с точки зрения группы

5. Совершенно аналогично классифицируются мезоны. Здесь выделяются два октета. I. Октет псевдоскалярных мезонов. С точки зрения изотопической группы этот октет разбивается на

следующие подсистемы: 1) -мезон (сииглет), 2) -мезоны и их античастицы (2 дублета), 3) -мезоны (триплет). II. Октет векторных мезонов. С точки зрения этот октет разбивается на следующие подсистемы: 1) -мезон (синглет), 2) -мезоны и их античастицы (2 дублета), 3) -мезоны (триплет).

Для мезонов по-прежнему выполняется формула Гелл-Манна - Окубо, с той разницей, что выражение вида дает теперь поправку для квадрата массы, т. е. Заметим, что мезонные октеты симметричны относительно перехода к античастицам. Отсюда следует, что Формула Гелл-Манна - Окубо дает хорошее согласие с экспериментом.