§ 107. Некоторые дополнительные результаты

Остановимся вкратце на некоторых вопросах, близких к тем, которые рассматривались в этой главе. Прежде всего, в предыдущем параграфе, помимо доказательства основной теоремы, мы получили еще значительную информацию о свойствах компактной группы Ли. Этот круг идей известен под названием теории двойственности.

Пусть компактная группа Ли и индекс а нумерует все ее неприводимые представления (рассматриваемые с точностью до эквивалентности). Введем линейное пространство В как линейную оболочку формальных символов где

размерность представления с номером а. Тогда мы имеем

где линейная оболочка символов с фиксированным индексом а (все эти элементы считаются линейно независимыми). Введем в пространство В билинейную операцию следующим образом:

Здесь и матрица С является матрицей Клебша — Гордана для группы G. Указанное символическое правило расшифровывается следующим образом:

с коэффициентами, введенными в § 106. Операция называется кронекеровским произведением в В. Алгебра В называется блок-алгеброй, ассоциированной с группой G. Иногда эту алгебру называют также дуальным объектом или дуальной системой для группы G.

Определим инволюцию в алгебре В как эрмитово сопряжение в каждом блоке при этом

Характером алгебры В назовем произвольный линейный функционал обладающий свойством мультипликативности:

Унитарным характером алгебры В назовем произвольный характер, удовлетворяющий дополнительному свойству унитарности:

Пусть X — множество всех характеров алгебры В. Заметим, что каждый характер однозначно определяется набором чисел Положим

Как следует из определения характера, числа удовлетворяют соотношениям Клебша — Гордана. Отсюда следует (см. § 106), что матрица обратима. Кроме того, если два характера, то матрица

также определяет характер Следовательно, множество X является группой. Множество всех унитарных характеров является подгруппой в группе

Теорема 17. Множество всех унитарных характеров алгебры В изоморфно группе G. Множество X всех характеров алгебры В изоморфно комплексной оболочке

Доказательство. Согласно лемме 2 из § 106 система чисел тогда и только тогда удовлетворяет соотношениям Клебша — Гордана, когда

для некоторой точки Согласно лемме тогда и только тогда, когда все матрицы унитарны. Но это равносильно унитарности характера Теорема доказана.

Иногда вместо блок-алгебры В рассматривают систему А всех неприводимых представлений группы G. Всякий характер алгебры В называют представлением системы А. Тогда группа G отождествляется с совокупностью всех унитарных представлений системы А.

Пример. Пусть группа вращений окружности; тогда каждое ее неприводимое представление нумеруется целым числом (и имеет вид где угловой параметр в группе Алгебра В натянута на базисные элементы с законом умножения

Найдем характеры алгебры В. Положим тогда мы имеем систему уравнений

Отсюда, в частности, следует, что Далее, если то для всех значений Здесь

произвольное комплексное число. Налагая условие унитарности, получаем характер

Отсюда очевиден результат теоремы 17 для группы G. В частности, множество всех унитарных характеров изоморфно группе G.

Аналогичная структура всегда имеет место для произвольной коммутативной компактной группы В этом случае система А также состоит из характеров группы G. Теорема 17 в этом частном случае была впервые доказана Понтрягиным и именуется понтрягинским принципом двойственности.

Далее, вернемся к вопросам структуры самой группы Ли. Если разрешимая связная группа Ли, то оказывается ([92], [113]), что она разлагается в произведение своих однопараметрических подгрупп:

При этом существует такое разложение, при котором каждая подгруппа является нормальным делителем в Если G односвязна, то указанное разложение однозначно и взаимно непрерывно.

Далее, используя теорему Леви — Мальцева и разложение Ивасавы, получаем следующий результат:

Теорема 18. Всякая односвязная группа Ли может быть разложена следующим образом:

где разрешимая односвязная подгруппа, -односвязная абелева подгруппа и компактная подгруппа в G. При этом индивидуальное разложение

однозначно и взаимно непрерывно (т. е. элементы и являются непрерывными функциями от

Этот результат был получен независимо А. И. Мальцевым [113] и К. Ивасавой [92]. См. также [128]. Отсюда, в частности, следует, что G гомеоморфно где 9? — евклидово пространство. Следовательно, топология связных групп Ли сводится, по существу, к топологии компактных групп Ли.

Заметим, что конструкция группы G в теореме 18 может быть получена непосредственно из алгебры Ли этой группы [128]. Иначе говоря, на этом пути получается доказательство существования группы Ли с заданной алгеброй Ли.

Отметим еще одно доказательство этого утверждения, пригодное в случае полупростой комплексной алгебры По алгебре X определяется система всех ее неприводимых конечномерных представлений, затем соответствующая блок-алгебра В, по которой в свою очередь строится двойственная группа G. Очевидно, группа Ли с алгеброй Ли Поскольку обладают «одинаковым запасом» неприводимых конечномерных представлений, то отсюда нетрудно заключить, что группа G односвязна. Кроме того, из этой конструкции непосредственно вытекает алгебраичность группы G. Аналогичная конструкция пригодна в случае компактной алгебры

Наконец, остановимся на одном весьма частном вопросе из теории инвариантов. Следующая теорема принадлежит К- Шевалле [144].

Теорема 19. Пусть конечная линейная группа, порожденная рефлексиями в -мерном евклидовом пространстве. Тогда алгебра I всех полиномиальных инвариантов содержат независимых образующих.

Таким образом, в данном случае мы получаем значительное уточнение теоремы 1 из § 98.

Теорема 1 принадлежит Гильберту (см. [10]) и является одной из классических теорем теории инвариантов. Обобщения этой теоремы можно найти, например, в [128], стр. 91. См. также [76], стр. 26. Доказательство свойства алгебраичности компактной группы Ли (теорема 3) заимствовано автором из лекций Э. Б. Винберга [15]. (Заметим, что в этих лекциях вместо усреднения по группе используется усреднение по векторному пространству, в котором действует группа.) Теория алгебраических групп разработана главным образом в работах К. Шевалле [46] (том. II); мы касаемся здесь лишь простейших вопросов этой теории.

Разложения Гаусса и Ивасавы (§§ 100, 101) относятся к важнейшим разложениям полупростой (и редуктивной) группы Ли, используемым в теории представлений ([68], [85]). В этой книге мы рассматриваем такие разложения только для комплексных групп Ли. Разложение Гаусса было в общем виде, по-видимому, впервые получено в работах Хариш-Чандры. Здесь мы приводим доказательство, данное в статье [85], и получаем разложение Ивасавы из разложения Гаусса (см. доказательство теоремы 7). Первоначальное доказательство принадлежит К. Ивасаве [92] и А. И. Мальцеву [113]. См. также [85], [92], [113] по поводу обобщения на вещественный случай.

Связь между геодезическими и однопараметрическими подгруппами была впервые отмечена Э. Картаном. Более подробно этот вопрос был рассмотрен К. Номидзу [120]. См. также [42], [128]. Теорема о сопряженности максимальных торов принадлежит Г. Вейлю [61]. Здесь изложено простое доказательство, предложенное Дж. Хантом [135].

В этой главе мы впервые затронули «глубокие» вопросы топологии (§ 103, «Фундаментальная группа и центр»). Основная теорема о компактности универсальной накрывающей принадлежит Г. Вейлю; в настоящее время известно несколько вариантов доказательства этой теоремы ([128]), из которых мы предпочли наиболее непосредственное построение (Л. С. Понтрягин [38]). Теорема о линейности полупростой комплексной связной группы Ли получается отсюда как простое следствие (см. § 104). Группа Вейля была введена Г. Вейлем [61] при изучении структуры полупростых комплексных алгебр Ли. Более подробное изложение свойств этой группы можно найти в [19], [128].

Существование правильной комплексной оболочки для произвольной компактной группы Ли является одним из основных результатов этой главы. Как отмечалось в тексте, этот результат мог бы быть изложен непосредственно вслед за глобальной теоремой, т. е. он не опирается на классификационную теорию. Наше изложение является упрощенным вариантом изложения К. Шевалле [46] (том 1, стр. 273—293).

Теория двойственности была впервые построена Л. С. Понтрягиным [38] для произвольных локально компактных абелевых групп. Ее обобщение на произвольные компактные группы принадлежит Т. Таннаке [131]. В работе М. Г. К рейна [105] дается аксиоматическое описание блок-алгебр, т. е. объектов, двойственных к компактным группам Ли. По поводу обобщения этой теории на некомпактные группы Ли см. [131].

Относителыю более детального описания компактных групп Ли в целом см. также [46], [81], [128].