§ 2. Пространство элементарного представления

Пространство является топологическим векторным пространством относительно топологии равномерной сходимости на функций со всеми производными. Нетрудно видеть, что является метризуемым полным пространством, т. е. пространством Фреше. Более глубокую информацию о топологической природе мы получим, если разложим представление на мультиплеты относительно компактной подгруппы

Заметим, что сужение на сводится к правым сдвигам на группе Разложение этого представления на неприводимые хорошо известно и сводится к разложению функции в ряд Фурье по матричным элементам группы Однако существенно учесть бесконечную дифференцируемость функций

Пусть квадратичный оператор Казимира, порожденный правыми сдвигами па (оператор Лапласа-Бельтрами на Матричные элементы старшего веса X являются собственными векторами оператора с собственным значением причем является полиномом степени относительно X:

(сумма по 1 от 1 до ), где взаимно дуальные координаты в алгебре — линейная форма от К (см. Таким образом, для достаточно больших значений

Из бесконечной дифференцируемости функции следует, что ее ряд Фурье сходится в среднем квадратичном с любым весом

где — коэффициенты Фурье — Петера — Вейля функции -квадрат нормы матричного элемента. Отсюда, как и в обычном анализе Фурье, следует, что ряд Фурье функции сходится к этой функции в топологии пространства т. е. равномерно вместе со всеми производными. Коэффициенты Фурье функции убывают быстрее любой степени

Отсюда следует, что пространство изоморфно пространству Кёте быстро убывающих последовательностей ([115]). Согласно оценкам статьи [1151 легко находим, что пространство является монтелевским и ядерным.

Как мы знаем, мультиплет группы со старшим весом X содержится в пространстве с кратностью При этом нетрудно видеть, что на долю приходится таких мультиплетов, где кратность веса в представлении Тем самым определяется кратность вхождения в представление

В частности, минимальным из весов К, для которых содержится в является вес где доминантный вектор на орбите вектора х относительно группы Вейля (см. § 105). При этом т. е. содержится в однократно.