§ 47. Единственность старшего вектора

Покажем теперь, что из теоремы 1 вытекает чрезвычайно простое построение для каждого неприводимого представления группы G.

Пусть неприводимое представление группы G в комплексном векторном пространстве V, и пусть V — дуальное пространство, т. е. множество всех линейных форм над Фиксируя линейную форму мы можем каждому вектору поставить в соответствие функцию

Таким путем, как мы видели в § 18, получается вложение в правое регулярное представление группы G. Действительно, пусть множество всех полученных функций и множество всех векторов для которых Очевидно, инвариантно относительно откуда Следовательно, изоморфно пространству Заменяя х на получаем новую функцию

Следовательно, представление эквивалентно представлению в классе При этом в нашем распоряжении имеется выбор линейной формы I.

Используя теорему 1, выберем вектор который является старшим в пространстве Используя

теорему 1 для контрагредиентного представления, выберем форму которая является младшим вектором в пространстве Тогда всякая функция удовлетворяет следующим соотношениям:

где ей и характер группы Функция удовлетворяет, помимо этого, также следующим соотношениям:

где характер группы Полагая, в частности, получаем, что Равенство означало бы, что Но тогда ввиду разложения Гаусса функция

также равнялась бы нулю на всюду плотном множестве Ввиду непрерывности отсюда вытекало бы, что но это невозможно. Следовательно, Нормируя векторы условием получаем отсюда

Второе из этих условий показывает, что старший вес определяется однозначно. Действительно, он совпадает с весом который мы фиксировали в дуальном пространстве Равенство показывает также, что функция определяется однозначно при условии, что Но это означает также, что старший вектор определяется однозначно с точностью до множителя, ибо равенство совместно с условием определяет вектор однозначно. В результате получена следующая

Теорема 2. Если представление неприводимо, то его старший вектор определяется однозначно с точностью до множителя. Соответствующий старший вес определяет это представление однозначно с

ностыо до эквивалентности. Положим

с непрерывным продолжением на всю группу G. Такое продолжение действительно существует, и представление может быть реализовано с помощью правых сдвигов в циклической оболочке функции

Действительно, . В силу правила цикличности совпадает с линейной оболочкой функций

Неприводимое представление группы G со старшим весом а мы условимся обозначать символом Если использовать принцип полной приводимости, то из теорем 1 и 2 вытекает также практически важное

Следствие 1. Представление неприводимо тогда и только тогда, когда оно обладает единственным, с точностью до множителя, старшим вектором.

Действительно, если содержит хотя бы две неприводимые компоненты, то существует хотя бы два линейно независимых старших вектора.

Следствие 2. Если приводимо, то для его разложения на неприводимые достаточно найти семейство всех векторов, инвариантных относительно подгруппы Z, и выделить среди них весовые. При этом кратность веса совпадает с кратностью вхождения в соответствующего неприводимого представления

Мы видим, что следствие 2 дает непосредственный практический метод спектрального анализа представлений группы G. Этот метод мы условимся в дальнейшем называть методом Z-инвариантов. (Заметим, что принцип полной приводимости гарантирует также полную приводимость относительно подгруппы и содержание в только тех весов, которые являются старшими относительно всей группы

Замечание. До сих пор мы полагали Однако теоремы 1 и 2 остаются верными (вместе с доказательствами) также для полной линейной группы В последнем случае необходимо соблюдать известную осторожность в формулировках следствия 1 и следствия 2. Действительно, как мы видели в гл. принцип полной приводимости выполняется, вообще

говоря, лишь для конечнозначных аналитических представлений группы Во всяком случае, следствия 1 и 2 справедливы для вполне приводимых представлений этой группы.