§ 49. Индуктивные веса

Для полного решения задачи классификации осталось перечислить все характеры которые являются старшими весами неприводимых представлений группы G. Такие характеры мы будем называть индуктивными.

Пусть А], главные диагональные миноры матрицы Если то эти миноры являются мультипликативными параметрами матрицы Следовательно, всякий характер мы можем также записывать в виде

Здесь мы рассматриваем для простоты только комплексно-аналитические характеры. В общем случае необходимо добавить сомножители в некоторых степенях. Заметим, что для элементов группы однако мы сохраняем множитель для обобщения на Существенно, что все миноры обладают следующим свойством: Следовательно, имеет место также формула

где на этот раз означает главный диагональный минор матрицы Заметим, что параметры связаны с параметрами в разложении следующими соотношениями:

где положено для общности записи Если параметры являются неотрицательными целыми числами, то функция является полиномом на группе G. Отсюда следует, что в данном случае конечномерно, и мы получаем серию неприводимых представлений группы G. Поскольку является инвариантом, тот же результат получается при произвольном целом Заметим, что полученные условия равносильны следующему свойству упорядоченности:

Теорема 4. Характер является старшим весом тогда и только тогда, когда для его показателей выполняется соотношение упорядоченности Иначе говоря, все разности должны быть неотрицательными целыми.

Замечание 1. Мы рассматриваем здесь только аналитические характеры Отсюда непосредственно вытекает целочисленность для и целочисленность разностей для Вещественные характеры будут рассмотрены ниже.

Доказательство. Необходимость условий упорядоченности была уже доказана в § 44 путем рассмотрения симметрии относительно группы Вейля. Если мы желаем получить независимое доказательство, то можно поступить следующим образом.

Заметим, что если подгруппа в группе сохраняющая все базисные векторы, кроме то изоморфна и разложение Гаусса в группе G индуцирует разложение Гаусса в Если то формула

определяет неприводимое представление в циклической оболочке старшего вектора Следовательно, если характер индуктивен по отношению к группе то его сужение на подгруппу является индуктивным по отношению к Заметим теперь, что

где единственный мультипликативный параметр в группе Как следует из теории представлений группы показатель должен быть целым неотрицательным. Следовательно,

Достаточность этих условий доказана в начале настоящего параграфа.

Теорема доказана.

Замечание 2. Если то параметры определяются с точностью до общего слагаемого (ибо ); следовательно, такие параметры могут быть и нецелыми. Они становятся целыми, если ввести нормировку (вообще если хотя бы одно из чисел выбрать целым).

Замечание 3. Если рассматривать вещественные представления группы то общий вид характера дается следующей формулой:

Если мы желаем рассматривать только однозначные представления, то разности необходимо выбрать целыми для группы Повторяя доказательство теоремы 4, получаем следующие ограничения:

При этом числа обязательно должны быть целыми при Однако числа не обязаны быть целыми в случае и не обязаны быть положительными.

Замечание 4. Всякое неприводимое представление может быть построено по формуле неприводимого представления с добавочным скалярным множителем вида

В дальнейшем мы, как правило, будем рассматривать только аналитические представления Всякий вектор с целочисленными координатами, удовлетворяющими условиям упорядоченности мы будем называть сигнатурой. В случае эта сигнатура определяется с точностью до общего слагаемого у всех координат