где
на этот раз означает главный диагональный минор матрицы
Заметим, что параметры
связаны с параметрами
в разложении
следующими соотношениями:
где положено для общности записи
Если параметры
являются неотрицательными целыми числами, то функция
является полиномом на группе G. Отсюда следует, что в данном случае
конечномерно, и мы получаем серию неприводимых представлений группы G. Поскольку
является инвариантом, тот же результат получается при произвольном целом
Заметим, что полученные условия
равносильны следующему свойству упорядоченности:
Теорема 4. Характер
является старшим весом тогда и только тогда, когда для его показателей выполняется соотношение упорядоченности
Иначе говоря, все разности
должны быть неотрицательными целыми.
Замечание 1. Мы рассматриваем здесь только аналитические характеры
Отсюда непосредственно вытекает целочисленность для
и целочисленность разностей
для
Вещественные характеры
будут рассмотрены ниже.
Доказательство. Необходимость условий упорядоченности была уже доказана в § 44 путем рассмотрения симметрии относительно группы Вейля. Если мы желаем получить независимое доказательство, то можно поступить следующим образом.
Заметим, что если
подгруппа в группе
сохраняющая все базисные векторы, кроме
то
изоморфна
и разложение Гаусса в группе G индуцирует разложение Гаусса в
Если
то формула