1.7. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ

В предыдущих разделах этой главы мы старались не сопоставлять дискретные сигналы и системы с аналоговыми сигналами и системами, за исключением указаний на сходство некоторых основных теоретических понятий. Однако часто дискретные сигналы получаются из аналоговых сигналов с помощью периодической дискретизации; поэтому важно понять, как последовательности, полученные таким образом, связаны с исходным сигналом.

Рассмотрим аналоговый сигнал имеющий представление Фурье [1—3]:

Говорят, что последовательность со значениями получена из периодической дискретизацией, а Т называется периодом дискретизации. Величина, обратная Т, называется частотой дискретизации или скоростью дискретизации. Чтобы определить, в каком смысле представляет исходный сигнал удобно связать - преобразование Фурье аналогового сигнала - преобразованием Фурье последовательности Из (1.24а) видно, что

Преобразование Фурье в дискретном времени также дает представление

Чтобы связать (1.25) и (1.26), удобно выразить (1.25) в виде суммы интегралов по интервалам длиной

Каждый член суммы может быть сведен к интегралу по отрезку от до путем замены переменных

Если изменить порядок суммирования и интегрирования и учесть, что для всех целых и , то

Вводя подстановку в (1.27), получим что совпадает по форме с (1.26). Поэтому можно записать следующее равенство:

С другой стороны, мы можем записать (1.28) через аналоговую частотную переменную

Из соотношений (1.28) и (1.29) становится совершенно ясной связь между преобразованием Фурье в непрерывном времени и преобразованием Фурье последовательности, полученной посредством дискретизации.

Например, если имеет вид, изображенный на рис. 1. 13а, то будет иметь

Рис. 1.13. Преобразование Фурье аналогового сигнала (а), преобразование Фурье дискретного сигнала, полученного при периодической дискретизации; период дискретизации велик, и поэтому периодически повторяющиеся преобразования Фурье аналогового сигнала перекрываются период дискретизации мал настолько, что периодически повторяющиеся преобразования Фурье аналогового сигнала не перекрываются (в)

вид, показанный на рис. 1.136, если На рис. 1.136 мы видим, что если период дискретизации слишком велик, сдвинутые варианты спектра перекрываются. В этом случае верхние частоты отражаются в более низкие частоты в Явление, когда высокочастотные компоненты в отождествляются с более низкими частотами, называется наложением (эффектом наложения) спектров. Из рис. 1.13 б ясно видно, что если т. е. если скорость дискретизации, по крайней мере, вдвое больше наивысшей частоты спектра то совпадает с на интервале . В этом случае можно ожидать, что может быть восстановлено по выборкам при помощи подходящей интерполяционной формулы. Эта скорость (частота) дискретизации иногда называется скоростью (частотой) Найквиста.

Чтобы вывести интерполяционную формулу, предположим, что (рис. 1.13 в). Тогда

В соответствии с преобразованием Фурье в непрерывном времени

Объединяя (1.30) и (1.31), можно записать Так как то или, меняя порядок суммирования и интегрирования, Вычисляя интеграл, получим

Выражение (1.32) дает интерполяционную формулу для восстановления аналогового сигнала по его выборкам. Представление аналогового сигнала в виде (1.32) справедливо только для функций с ограниченным спектром при достаточно малом Т, т. е. отсутствии эффекта наложения. Выражение (1.32) можно понимать как разложение сигнала с непрерывным временем в ряд вида 00

где коэффициенты и функции определяются выражениями

Существует много классов функций которые можно использовать для представления функции с непрерывным временем в виде (1.33), включая синусоидальные функции, функции Лагерра и полиномы Лежандра. При любом представлении вида (1.33) последовательность коэффициентов можно рассматривать как дискретный сигнал, представляющий аналоговый сигнал Однако не все такие представления в равной степени полезны. Большим преимуществом выбора функции вида (1.346) является то, что коэффициенты легко получаются путем дискретизации сигнала с непрерывным временем. Второе преимущество заключается в том, что такое представление сохраняет свертку; если является сверткой в непрерывном времени функции то будет дискретной сверткой последовательностей при условии, что период дискретизации Т достаточно мал, чтобы избежать наложения частот, т. е. справедливо выражение (1.32). Преимущество представления, сохраняющего свертку, состоит в том, что оно позволяет моделировать и выполнять линейные инвариантные во времени системы с непрерывным временем с помощью дискретных инвариантных к сдвигу систем. Недостатком представления с использованием функций (1.346) является то, что оно применимо только к сигналам с ограниченным спектром.

Имеется ряд других способов выбора функций в (1.33), которые дают дискретное представление аналоговых сигналов, сохраняющее свертку [8].