1.2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, ИНВАРИАНТНЫЕ К СДВИГУ

Система определяется математически как однозначное преобразование или оператор, отображающий входную последовательность (вход) в выходную (выход), что математически записывается в виде а графически часто изображается так, как показано на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Представление преобразования, отображающего входную последовательность в выходную последовательность

Классы дискретных систем определяются путем наложения ограничений на преобразование . В дальнейшем будет широко рассматриваться класс линейных инвариантных относительно сдвига систем, потому что они сравнительно просты в математическом отношении, а также потому, что они дают удобный вид обработки сигналов. В гл. 10 мы обсудим более общий класс систем, включающий как частный случай линейные системы.

Класс линейных систем определяется принципом суперпозиции. Если — отклики на соответственно, то система линейна тогда и только тогда, когда

для произвольных постоянных Мы видели, что произвольная последовательность может быть представлена в виде задержанной и взвешенной суммы единичных импульсов (1.4). Это представление вместе с (1.5) предполагает, что линейная система может быть полностью охарактеризована откликом на единичный импульс — импульсной характеристикой. А именно, пусть — отклик системы на единичный импульс в момент

Тогда из . С учетом (1.5) можно записать

Таким образом, согласно (1.6) реакцию системы можно выразить через отклики на Если накладывается только одно условие — линейность, то будет зависеть как от так и от и в этом случае польза от выражения (1.6) для вычислений невелика. Более полезный результат получится, если мы наложим дополнительное ограничение, состоящее в инвариантности к сдвигу.

Класс инвариантных к сдвигу систем характеризуется следующим свойством: если — отклик на то будет откликом на где — положительное или отрицательное целое число. Когда индекс связывается со временем, свойству инвариантности к сдвигу соответствует свойство инвариантности во времени. Из свойства инвариантности к сдвигу следует, что если — отклик на то откликом на будет просто Поэтому (1.6) принимает вид

Значит, любая инвариантная к сдвигу система полностью характеризуется импульсной характеристикой

Выражение (1.7) обычно называется сверткой. Если — последовательность, значения которой связаны со значениям», двух последовательностей выражением (1.7), то мы говорим, что есть свертка и обозначаем Заменяя переменную в (1.7), получим другое выражение

Поэтому порядок, в котором две последовательности входят в свертку, не важен. Другими словами, линейная инвариантная к сдвигу система со входом и импульсной характеристикой будет иметь тот же выход, что и линейная инвариантная к сдвигу система со входом и импульсной характеристикой

Две линейные инвариантные к сдвигу системы, включенные каскадно, образуют линейную инвариантную к сдвигу систему с импульсной характеристикой, равной свертке импульсных характеристик исходных систем. Так как порядок в свертке не важен, то импульсная характеристика составной системы не зависит от

порядка, в котором включены исходные системы. Это свойство иллюстрируется рис. 1.5, где изображены три системы, имеющие одинаковые импульсные характеристики.

Рис. 1.6. Параллельное включение линейных инвариантных к сдвигу систем и эквивалентная система

Рис. 1.5. Три линейные инвариантные к сдвигу системы с одинаковыми импульсными характеристиками

Из (1.7) и (1.8) следует, что две инвариантные к сдвигу системы, включенные параллельно, эквивалентны одной системе с импульсной характеристикой, равной сумме импульсных характеристик исходных систем. Это свойство иллюстрируется рис. 1.6.

Хотя выражение свертки в виде суммы аналогично интегралу свертки в теории линейных аналоговых систем, следует подчеркнуть, что свертку в виде суммы нельзя понимать как приближение к интегралу свертки. В противоположность интегралу свертки, играющему в основном теоретическую роль в применении к аналоговым линейным системам, свертка в виде суммы, как мы увидим в дальнейшем, вдобавок к своей теоретической значимости может служить для реализации дискретной системы. Поэтому важно глубже понять свойства свертки и получить опыт в применении свертки для вычислений.

Пример. Рассмотрим систему с импульсной характеристикой Чтобы найти реакцию на входной сигнал заметим, что в силу (1.7) для получения значения выходной последовательности нужно сформировать произведение и просуммировать значения получившейся последовательности. Две составляющие последовательности показаны на рис. 1.7 как функции причем изображена для нескольких значений Как видно из рис. 1.7, при не имеют ненулевых

Рис. 1.7. Последовательности, входящие в свертку показаны для нескольких значений

перекрывающихся выборок и, следовательно, при При имеют ненулевые перекрывающиеся выборки от до поэтому при

при ненулевые перекрывающиеся выборки простираются от до и поэтому

Реакция изображена на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Реакция системы с импульсной характеристикой на входной сигнал