3.4. ВЫБОРКИ ИЗ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

В § 3.1 мы видели, что значения представления периодической последовательности равны выборкам -преобразования одного периода в равноудаленных точках на единичной окружности. Рассмотрим соотношение между апериодической последовательностью с -преобразованием и периодической последовательностью, ДРФ коэффициентами которой являются распределенные по углу выборки из на единичной окружности. Рассмотрим апериодическую последовательность -преобразование которой

имеет область сходимости, включающую единичный круг; это условие всегда выполняется для последовательности конечной длины. Если мы вычислим -преобразование в равноудаленных

точках единичной окружности, как показано на рис. 3.7, то получим периодическую последовательность

где

Рис. 3.7. Точки на единичной окружности, в которых берутся значения для получения периодической последовательности

Мы только что убедились, что существует однозначная связь между периодической последовательностью и периодической. последовательностью определяемая формулой

Чтобы выяснить соотношение между периодической последовательностью и исходной последовательностью подставим значение из (3.14) в (3.15), и тогда Меняя порядок суммирования, получим

Из (3.3) следует, что для и равно нулю в других случаях, так что

Таким образом, результирующая периодическая последовательность формируется из исходной апериодической последовательности путем наложения ее сдвинутых копий. Это напоминает рассмотренное в § 1.7 соотношение между преобразованием Фурье непрерывного сигнала и преобразованием Фурье дискретного сигнала, полученного путем периодической выборки из непрерывного сигнала. Это сходство проявляется в аналогии между (1.29) и (3.16). Из (3.16) видно, что если апериодическая последовательность имеет конечную длительность, меньшую, чем то каждый период будет повторением если ее длительность больше то будет перекрытие ненулевых выборок,

аналогичное эффекту наложения, рассмотренному в 1.7. Отсюда следует, что если последовательность по длительности меньше, чем к, то она может быть точно восстановлена из простым выделением одного периода или, что эквивалентно, последовательность конечной длительности (или менее) может быть точно представлена выборками своего -преобразования на единичной окружности. Так как исходная последовательность может быть восстановлена по выборкам из на единичной окружности, то ясно, что также может быть восстановлено по тем же самым выборкам. Если равно нулю при то

Так как при можно подставить (3.15) и (3.17), получая Меняя порядок суммирования, получим что можно записать как

Эта формула дает выражение для -преобразования последовательности конечной длины через «частотных выборок» из на единичной окружности. Как будет показано в одной из последующих глав, это выражение является основой для одной из возможных реализаций системы, имеющей импульсную характеристику конечной длины. Делая замену можно показать, что (3.18) превращается в

где .

Функция изображена на рис. 3.8 для Отметим, что функция обладает свойством

так что

т. е., как и ожидалось, интерполяция является точной в исходных точках, в которых брались выборки.

Рис. 3.8. Функция при