Главная > Цифровая обработка сигналов (Оппенгейм А. В.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

10.6. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ D

В § 10.4 были даны математические представления гомоморфного преобразования названного характеристической системой для свертки и целью которого было преобразование свертки в сумму с тем, чтобы можно было применить линейную фильтрацию. Во всех этих представлениях подразумевалась однозначность и непрерывность комплексного логарифма и только в двух представлениях основным компонентом было преобразование Фурье. Если взять за основу численной реализации системы эти представления, то встанет вопрос о вычислении преобразования Фурье и комплексного логарифма.

10.6.1. РЕАЛИЗАЦИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЛЕКСНОГО ЛОГАРИФМА

Система представляется соотношениями:

Так как цифровые вычислительные машины могут выполнять лишь конечное число операций, то мы ограничены последовательностями конечной длины и можем вычислить преобразование Фурье только

в конечном числ точек, т. е. вместо преобразования Фурье мы должны использойать дискретное преобразование Фурье. Таким образом, вместо соотношений (10.57) мы имеем их численную реализацию:

С помощью выведенной в гл. 3 теоремы о выборке для -преобразования нетрудно увидеть, что связано с требуемой последовательностью соотношением

Так как комплексный кепстр в общем случае имеет бесконечную длительность, то будет получено из с эффектом наложения во временной области. Однако согласно свойству 1 в общем случае спадает быстрее экспоненциальной последовательности и можно ожидать, что с увеличением аппроксимация будет улучшаться. Поэтому может понадобиться добавить ко входной последовательности нули, чтобы выборки из комплексного логарифма брались со скоростью, достаточной для того, чтобы избежать существенного наложения при вычислении комплексного кепстра.

При записи выражений (10.58) и (10.59) предполагалось, что представляет выборки из непрерывного комплексного логарифма. Поэтому нужно рассмотреть способы вычисления выборок по . В большинстве цифровых вычислительных машин имеется стандартная подпрограмма вычисления арктангенса, с помощью которой можно найти Это выборочное главное значение фазы затем «разворачивается» так, чтобы получились выборки из непрерывной фазовой кривой. Рассмотрим входной сигнал конечной длительности, преобразование Фурье которого равно

где меньше единицы, а Непрерывная фазовая кривая для последовательности этого вида показана на рис. 10.14 а. Точки обозначают выборки при

требуемые для вычисления предполагается четным). На рис. 10.14 б показано главное значение и его выборки, вычисленные из ДПФ входного сигнала. Нетрудно видеть, что для получения требуемых выборок фазы следует прибавить с соответствующим целым коэффициентом к главному значению.

Рис. 10.14. Выборки , главное значение выборки (б) и корректирующая последовательность для получения из

Этот коэффициент можно определить по если выборки близки друг к другу настолько, чтобы можно было бы обнаружить разрывы. Если меняется быстро, то можно ожидать, что будет спадать медленнее по сравнению со случаем, когда изменяется медленно. Если изменяется быстро, то это также требует более частной выборки для обнаружения разрывов Таким образом, желание уменьшить эффект наложения находится в соответствии с требованием вычисления выборок непрерывной фазовой кривой. Чем больше тем лучше численная аппроксимация. Вследствие наличия алгоритмов БПФ это требование не слишком ограничительно. На самом деле открытие алгоритма Кули — Тьюки стимулировало применение гомоморфных систем для свертки.

Заключительные замечания касаются знака коэффициента А и линейно-фазовой компоненты, обусловленной множителем Знак А легко определить, так как он совпадает со знаком при Значение то можно определить по результатам, полученным после коррекции так как нетрудно показать из (10.60), что . Эта линейно-фазовая компонента вычитается из фазы, а знак А можно сделать положительным до вычисления комплексного кепстра.

10.6.2. РЕАЛИЗАЦИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

Альтернативой к вычислению комплексного логарифма является математическое представление, основанное на логарифмической производной. В терминах преобразования Фурье это представление определяется соотношениями:

Для последовательностей конечной длительности и с использованием ДПФ вместо преобразования Фурье эти соотношения принимают вид

где индекс относится к логарифмической производной, а индекс подразумевает периодичность ДПФ. В этом случае мы исключаем проблему вычисления комплексного логарифма ценой более сильного эффекта наложения, так как теперь

Поэтому, предполагая, что выборочная фазовая кривая вычисляется точно, можно ожидать, что для данного в (10.58в) будет лучшей аппроксимацией для чем в (10.67).

Для последовательностей конечной длины с преобразованием Фурье вида (10.60) можно показать, что Аппроксимируя это выражение с помощью обратного ДПФ, получим

Величина будет в общем случае нецелой; однако для больших можно ожидать, что приближается к числу нулей вне единичного круга.

10.6.3. МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

При минимально-фазовых входных последовательностях математическое представление упрощается, как показано на рис. 10.15. В этом случае численная реализация определяется соотношениями

В этом случае кепстр получается с эффектом наложения, т. е. Чтобы вычислить комплексный кепстр по так, как показано на рис. 10.15, запишем

Ясно, что так как эффект наложения проявляется в четной части а не в Тем не менее при большом можно ожидать, что будет незначительно отличаться от Аналогично в случае, когда — максимально-фазовая последовательность, комплексный кепстр аппроксимируется с помощью соотношений

В случае минимально-фазовых или максимально-фазовых последовательностей имеются также рекуррентные формулы (10.49) — (10.56), которые дают возможные реализации характеристической системы и системы, обратной к ней. Эти выражения могут быть весьма полезны, если входная последовательность очень коротка или если требуется только несколько выборок комплексного кепстра. При использовании этих формул, конечно, не будут появляться ошибки, связанные с эффектом наложения.

1
Оглавление
email@scask.ru