10.6. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ D

В § 10.4 были даны математические представления гомоморфного преобразования названного характеристической системой для свертки и целью которого было преобразование свертки в сумму с тем, чтобы можно было применить линейную фильтрацию. Во всех этих представлениях подразумевалась однозначность и непрерывность комплексного логарифма и только в двух представлениях основным компонентом было преобразование Фурье. Если взять за основу численной реализации системы эти представления, то встанет вопрос о вычислении преобразования Фурье и комплексного логарифма.

10.6.1. РЕАЛИЗАЦИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЛЕКСНОГО ЛОГАРИФМА

Система представляется соотношениями:

Так как цифровые вычислительные машины могут выполнять лишь конечное число операций, то мы ограничены последовательностями конечной длины и можем вычислить преобразование Фурье только

в конечном числ точек, т. е. вместо преобразования Фурье мы должны использойать дискретное преобразование Фурье. Таким образом, вместо соотношений (10.57) мы имеем их численную реализацию:

С помощью выведенной в гл. 3 теоремы о выборке для -преобразования нетрудно увидеть, что связано с требуемой последовательностью соотношением

Так как комплексный кепстр в общем случае имеет бесконечную длительность, то будет получено из с эффектом наложения во временной области. Однако согласно свойству 1 в общем случае спадает быстрее экспоненциальной последовательности и можно ожидать, что с увеличением аппроксимация будет улучшаться. Поэтому может понадобиться добавить ко входной последовательности нули, чтобы выборки из комплексного логарифма брались со скоростью, достаточной для того, чтобы избежать существенного наложения при вычислении комплексного кепстра.

При записи выражений (10.58) и (10.59) предполагалось, что представляет выборки из непрерывного комплексного логарифма. Поэтому нужно рассмотреть способы вычисления выборок по . В большинстве цифровых вычислительных машин имеется стандартная подпрограмма вычисления арктангенса, с помощью которой можно найти Это выборочное главное значение фазы затем «разворачивается» так, чтобы получились выборки из непрерывной фазовой кривой. Рассмотрим входной сигнал конечной длительности, преобразование Фурье которого равно

где меньше единицы, а Непрерывная фазовая кривая для последовательности этого вида показана на рис. 10.14 а. Точки обозначают выборки при

требуемые для вычисления предполагается четным). На рис. 10.14 б показано главное значение и его выборки, вычисленные из ДПФ входного сигнала. Нетрудно видеть, что для получения требуемых выборок фазы следует прибавить с соответствующим целым коэффициентом к главному значению.

Рис. 10.14. Выборки , главное значение выборки (б) и корректирующая последовательность для получения из

Этот коэффициент можно определить по если выборки близки друг к другу настолько, чтобы можно было бы обнаружить разрывы. Если меняется быстро, то можно ожидать, что будет спадать медленнее по сравнению со случаем, когда изменяется медленно. Если изменяется быстро, то это также требует более частной выборки для обнаружения разрывов Таким образом, желание уменьшить эффект наложения находится в соответствии с требованием вычисления выборок непрерывной фазовой кривой. Чем больше тем лучше численная аппроксимация. Вследствие наличия алгоритмов БПФ это требование не слишком ограничительно. На самом деле открытие алгоритма Кули — Тьюки стимулировало применение гомоморфных систем для свертки.

Заключительные замечания касаются знака коэффициента А и линейно-фазовой компоненты, обусловленной множителем Знак А легко определить, так как он совпадает со знаком при Значение то можно определить по результатам, полученным после коррекции так как нетрудно показать из (10.60), что . Эта линейно-фазовая компонента вычитается из фазы, а знак А можно сделать положительным до вычисления комплексного кепстра.

10.6.2. РЕАЛИЗАЦИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

Альтернативой к вычислению комплексного логарифма является математическое представление, основанное на логарифмической производной. В терминах преобразования Фурье это представление определяется соотношениями:

Для последовательностей конечной длительности и с использованием ДПФ вместо преобразования Фурье эти соотношения принимают вид

где индекс относится к логарифмической производной, а индекс подразумевает периодичность ДПФ. В этом случае мы исключаем проблему вычисления комплексного логарифма ценой более сильного эффекта наложения, так как теперь

Поэтому, предполагая, что выборочная фазовая кривая вычисляется точно, можно ожидать, что для данного в (10.58в) будет лучшей аппроксимацией для чем в (10.67).

Для последовательностей конечной длины с преобразованием Фурье вида (10.60) можно показать, что Аппроксимируя это выражение с помощью обратного ДПФ, получим

Величина будет в общем случае нецелой; однако для больших можно ожидать, что приближается к числу нулей вне единичного круга.

10.6.3. МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

При минимально-фазовых входных последовательностях математическое представление упрощается, как показано на рис. 10.15. В этом случае численная реализация определяется соотношениями

В этом случае кепстр получается с эффектом наложения, т. е. Чтобы вычислить комплексный кепстр по так, как показано на рис. 10.15, запишем

Ясно, что так как эффект наложения проявляется в четной части а не в Тем не менее при большом можно ожидать, что будет незначительно отличаться от Аналогично в случае, когда — максимально-фазовая последовательность, комплексный кепстр аппроксимируется с помощью соотношений

В случае минимально-фазовых или максимально-фазовых последовательностей имеются также рекуррентные формулы (10.49) — (10.56), которые дают возможные реализации характеристической системы и системы, обратной к ней. Эти выражения могут быть весьма полезны, если входная последовательность очень коротка или если требуется только несколько выборок комплексного кепстра. При использовании этих формул, конечно, не будут появляться ошибки, связанные с эффектом наложения.