11.3. ПЕРИОДОГРАММА КАК ОЦЕНКА СПЕКТРА МОЩНОСТИ
В предыдущем параграфе были рассмотрены две возможные оценки автоковариационной последовательности, откуда видно, что эти оценки являются состоятельными асимптотически несмещенными оценками автоковариации. Кажется, что преобразование Фурье от таких оценок автоковариационной последовательности даст хорошую оценку плотности спектра мощности. К сожалению, это не так. Покажем, что преобразование Фурье состоятельных оценок ковариации не является состоятельной оценкой спектра мощности, так как дисперсия не стремится к нулю при увеличении длины выборки 
Однако увидим, что путем сглаживания преобразования Фурье оценки ковариации можно получить хорошую оценку спектра мощности.
В общем случае точные выражения для дисперсии оценок спектра становятся очень громоздкими. Чтобы получить наглядные результаты спектрального анализа, полезно вывести приближенные выражения, которые легко интерпретировать. Поэтому многие выражения, выведенные ниже, будут только приближенными.
11.3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДОГРАММЫ
В качестве оценки плотности спектра мощности рассмотрим преобразование Фурье смещенной оценки 
автокорреляции, т. е.
Так как преобразование Фурье действительной последовательности конечной длины 
равно 
то можно показать,
Оценка спектра 
часто называется периодограммой.
Представляет интерес определить смещение и дисперсию периодограммы как оценки спектра мощности. Математическое ожидание равно
Так как для процесса с нулевым средним было показано, что 
то
Таким образом, из-за конечных пределов суммирования и сомножителя 
не равно преобразованию Фурье от 
, следовательно, периодограмма является смещенной оценкой спектра мощности 
С другой стороны, рассмотрим преобразование Фурье оценки 
т. е.
Математическое ожидание 
равно
Из-за конечных пределов суммирования это будет смещенная оценка 
несмотря на то, что 
— несмещенная оценка 
Можно трактовать (11.27) и (11.29) как преобразования Фурье взвешенных автокорреляционных последовательностей. В случае (11.27) функция окна имеет треугольный вид
В гл. 5 мы назвали ее окном Бартлета. Для (11.29) окно — прямоугольное, т. е.
Используя понятия, введенные в гл. 5, нетрудно видеть, что (11.27) и (11.29) можно трактовать как свертки в частотной области
— преобразования Фурье окна Бартлета и прямоугольного окна соответственно.
