4.5.4. СТРУКТУРЫ С ЧАСТОТНОЙ ВЫБОРКОЙ

В гл. 3 было показано, что z-преобразование последовательности конечной длины может быть представлено с помощью отсчетов, равномерно распределенных на единичной окружности. Для КИХ-фильтра выражение (3.18) подразумевает, что передаточная функция может быть представлена как

где

Значения называются частотными выборками, так как они являются просто выборками (отсчетами) частотной характеристики системы.

Выражение (4.43) означает, что КИХ-система может быть реализована как каскадное соединение простой КИХ-системы и БИХ-системы, как показано на рис. 4.27. Передаточная функция КИХ-системы равна и нули этой системы находятся в точках Часть структуры (рис. 4.27), соответствующая БИХ-системе, состоит из параллельного соединения комплексных систем первого порядка с полюсами в точках Эти системы первого порядка имеют полюсы, лежащие строго на единичной окружности, назначение котррых заключается в подавлении точно одного из нулей КИХ-системы. На практике трудности обеспечения устойчивости, обусловленные расположением нулей на единичной окружности, исключаются с помощью образования выборок передаточной функции на окружности радиуса где немного меньше единицы [9]. В этом случае представляется как

где для точного представления с помощью (4.45) требуется, чтобы

На практике, однако, значение выбирается близким к единице,

Рис. 4.27. Структура КИХ-системы на основе частотной выборки

чтобы появлялась небольшая ошибка, если вместо выражения (4.46) используется (4.44).

В общем случае частотные выборки являются комплексными, какими являются величины Поэтому реализация КИХ-систем, таких, как на рис. 4.27, требует комплексных арифметических операций. Однако, как мы знаем из гл. 3, если отсчеты импульсной характеристики являются действительными, то частотные выборки, выраженные в полярных координатах, удовлетворяют следующим условиям симметрии:

где если то Кроме того, поскольку то цепи первого порядка на рис. 4.27 образуют комплексно-сопряженные пары, за исключением цепи с полюсом в точке и для четного — цепи с полюсом в точке Следовательно, комплексные цепи первого порядка могут быть сгруппированы в комплексно-сопряженные пары и выполнены как цепи второго порядка с действительными коэффициентами. В частности, предполагая четным, (4.45) можно записать в виде

которое при изменении индекса суммирования во второй сумме становится

Используя (4.47) и тот факт, что можно (4.48) переписать в виде

где

Этому выражению соответствует структура цепи, показанная на рис. 4.28, где все арифметические операции теперь включают действительные числа.

При нечетном для частотного отсчета не будет. Таким образом, составляющая, содержащая должна «быть исключена из (4.49) и рис. 4.28. Если система имеет линейную фазовую характеристику, то (4.49) и (4.50) могут быть далее упрощены. Подобную структуру можно получить, выразив с помощью отсчетов, смещенных относительно предыдущих отсчетов, на угол

Рис. 4.28. Структура цепи на основе частотной выборки при отсчетах, не лежащих на единичном круге, и формировании комплексных полюсов в блоках второго порядка

Существуют два принципиальных преимущества реализаций на основе частотной выборки. Первое заключается в том, что в умножителях на выходах каждой системы второго порядка (рис. 4.28) используются величины, пропорциональные отсчетам частотной характеристики, равномерно распределенным по углу на единичной окружности. Эти величины могут, конечно, быть получены из ДПФ импульсной характеристики. Если подлежащий выполнению фильтр является частотноизбирательным с одной или более полосой непропускания, то он может быть спроектирован так, как это будет показано в гл. 5, чтобы частотные выборки в полосе непропускания были нулевыми, что уменьшает число подлежащих реализации систем второго порядка Если большинство частотных отсчетов являются нулевыми, как в случае узкополосного низкочастотного или полосового фильтра, то структура на основе частотной выборки может потребовать меньше умножений, чем прямая форма построения. Конечно, реализация на основе частотной выборки будет всегда требовать большую память, чем прямая форма построения.

Второе преимущество следует из того, что полюсы и нули структуры фильтра зависят только от длины импульсной характеристики. Если входной сигнал подлежит обработке с помощью банка КИХ-фильтров (т. е. нескольких различных импульсных характеристик длиной N), то одна реализация множителя и каждого блока второго порядка будет служить для всех фильтров. Кроме того, структура, показанная на рис. 4.28, в основном

состоит из одинаковых функциональных блоков второго порядка, что дает возможность реализации этих блоков последовательно во времени.