5.1. РАСЧЕТ ЦИФРОВЫХ БИХ-ФИЛЬТРОВ ПО ДАННЫМ АНАЛОГОВЫХ ФИЛЬТРОВ

Традиционный подход к расчету цифровых БИХ-фильтров включает преобразование аналогового фильтра в цифровой фильтр, удовлетворяющий заданным требованиям. Это является разумным подходом, потому что

1) способы расчета аналоговых фильтров являются хорошо отработанными и, поскольку могут быть получены полезные результаты, оказывается выгодным использовать уже развитые для аналоговых фильтров процедуры расчета;

2) многие полезные методы расчета аналоговых фильтров имеют сравнительно простые расчетные процедуры в замкнутой форме. Поэтому методы расчета цифрового фильтра, основанные на таких аналоговых расчетных формулах, являются довольно простыми;

3) во многих приложениях представляет интерес использование цифрового фильтра для моделирования работы аналогового линейного инвариантного к временному сдвигу фильтра.

Рассмотрим передаточную функцию аналоговой системы

где — соответственно входной и выходной сигналы, а — их преобразования Лапласа. Предполагается, что была получена с помощью одного из установившихся методов аппроксимации, используемых в расчетах аналогового фильтра. (Примеры рассмотрены в § 5.2.) Входной и выходной сигналы такой системы связаны между собой с помощью интеграла свертки

где - импульсная характеристика, являющаяся обратным преобразованием Лапласа от . С другой стороны, аналоговая система, имеющая передаточную функцию может быть описана дифференциальным уравнением

Соответствующая рациональная передаточная функция для цифровых фильтров имеет вид

Входной и выходной сигналы связаны между собой с помощью сверточной суммы

или, что то же, с помощью разностного уравнения

При преобразовании аналоговой системы в цифровую мы должны поэтому получить либо либо из расчета аналогового фильтра. При таких преобразованиях, как правило, требуется, чтобы существенные свойства аналоговой частотной характеристик» сохранялись в частотной характеристике получающегося в результате преобразования цифрового фильтра. Под этим подразумевается, что необходимо мнимую ось из -плоскости отобразить в единичную окружность на -плоскости. Второе требование состоит том, что устойчивый аналоговый фильтр должен быть преобразован в устойчивый цифровой фильтр. Это означает, что если аналоговая система имеет полюсы только в левой половине -плоскости, то цифровой фильтр должен иметь полюсы только внутри единичного круга. Эти ограничения являются основными для всех методов, которые должны быть рассмотрены в этом параграфе.