11.7. ПРИМЕРЫ ОЦЕНКИ СПЕКТРА

В гл. 9 предполагалось, что ошибка квантования является: белым шумом и шум квантования некоррелирован с исходным сигналом. Можно проверить эти предположения, оценивая ковариационные последовательности и спектр мощности с помощью, методов этой главы.

В качестве примера рассмотрим эксперимент, изображенный на рис. 11.7. Речевой сигнал пропущенный через фильтр нижних частот, подвергся дискретизации со скоростью в результате чего была получена последовательность выборок (Мы будем предполагать, что эти выборки получены абсолютно точно.) Диапазон амплитуд выборок определялся неравенствами Эти выборки были квантованы с помощью восьмибитового квантователя, а затем была вычислена

последовательность ошибок

На рис. 11.8а показаны 400 последовательных выборок речевого сигнала, а на рис. 11.86 — соответствующая последовательность ошибок.

Рис. 11.7. Схема для определения параметров шума квантования

Рис. 11.8. Речевой сигнал и соответствующие ему ошибки квантования 16) при восьмибитовом квантовании (увеличено в 66 раз по сравнению с а)

(Выборки соединены прямыми линиями для удобства построения графика.) Визуальное наблюдение и сравнение этих двух графиков усиливают нашу уверенность в справедливости высказанных допущений, хотя при внимательном осмотре можно предположить наличие некоторой корреляции.

На рис. 11.9 показаны нормированные автоковариация и спектр мощности последовательности ошибок при длине выборочной последовательности Среднее и дисперсия

Рис. 11.9. Нормированная оценка автоковариации для шума при восьмибитовом квантовании (длина записи равна 2000), оценка спектра мощности с использованием окна Бартлета при нормированная оценка автоковариации (в) и оценка спектра мощности с использованием окиа Бартлета при

были оценены так, как предлагалось это сделать в § 11.1. Эти оценки были равны Затем из вычитались и оценка ковариации при но методу, изложенному в § 11.6.2. Наконец, результирующая оценка ковариации делилась на оценку дисперсии Результирующая нормированная оценка ковариации, обозначаемая показана на рис. 11,9 а, в. Отметим, что автоковариация равна 1,0 при и: значительно меньше единицы по модулю при других значениях т.

В. действительности, при Очевидно, это подтверждает предположение о том, что последовательность ошибок некоррелированна от выборки к выборке.

Спектр мощности оценивался посредством взвешивания нормированной автокорреляционной функции окном Бартлета согласно § 11.6.3. Результат в децибелах, изображенный на рис. 11.96, показывает наличие беспорядочных флуктуаций около уровня 0 дБ (значение нормированного спектра мощности белого шума). Более гладкая оценка показана на рис. 11.9 г). В этом случае использовалось окно Бартлета с Результат сглаживания, соответствующий ухудшению разрешающей способности, очевиден, если сравнить рис. 11.96 с Из рис. 11.9 г видно, что оценка спектра находится от —1,097 до 1,631 дБ для всех частот. Таким образом, снова убеждаемся в том, что модель белого шума соответствует эффектам квантования.

Хотя мы получили количественные оценки автоковариации и спектра мощности, наша интерпретация этих результатов была лишь качественной. Возникает вопрос: насколько мала автоковариация, если бы ошибка была бы действительно белым шумом. Чтобы дать количественные ответы, следует вычистить доверительные интервалы для наших оценок и применить теорию статистических решений. Тесты для белого шума можно найти в [5]. Во многих случаях, однако, можно обойтись без этой дополнительной статистической проверки и довольствоваться тем, что нормированная автоковариация при значительно меньше, чем при

Один из наиболее важных выводов этой главы состоит в что оценки автоковариации и спектра мощности должны улучшаться с увеличением длины выборочной последовательности. Это иллюстрируется рис. 11.10, который соответствует рис. 11.9, за исключением того, что увеличилось до 14 000 выборок. Вспомним, что согласно (11.23) дисперсия оценки автоковариации пропорциональна Поэтому увеличение с 2000 до 14 000 должно дать приблизительно семикратное уменьшение дисперсии оценки. Сравнение рис. 11.9 а с рис. 11.10а подтверждает этот результат. При оценка попадала в пределы от —0,0548 до 0,0579, тогда как при эти пределы стали соответственно равны и Согласно (11.58) ожидается аналогичное уменьшение дисперсии оценки спектра, что опять подтверждается сравнением рис. 11.9 б, г с рис. 11.10 б, г.

Чтобы проверить наше второе предположение о процессе квантования, была вычислена нормированная взаимная ковариация между . В этом случае средние были вычтены до расчета оценок взаимной ковариации по методике, изложенной в § 11.5 и 11.6.2.

Рис. 11.10. Нормированная оценка автоковариации для шума при восьмибитовом квантовании (длина записи равна оценка спектра мощности с использованием окна Бартлета при нормированная оценка автоковариации (в) и оценка спектра мощности с использованием окна Бартлета при

Результат делился на для получения нормированной оценки взаимной ковариации, которая была бы равна 1,0 при полной корреляции и 0 в случае, когда некоррелированны. Нормированные оценки показаны на рис. 11.11а, для

Рис. 11.11. Нормированная оценка взаимной ковариации при восьмибитовом кваитоваиии (длина записи равна 14 000):

Отметим, что значения нормированной взаимоковариационной последовательности лежат в пределах от —0,0279 до при Если вспомнить, что при полной корреляции нормированная взаимная ковариация равна единице, то получим еще одно подтверждение того, что шум квантования некоррелирован с сигналом на входе квантователя.

В гл. 9 говорилось о том, что модель белого шума приемлема при малом шаге квантования. Когда число двоичных разрядов мало, это условие не выполняется. Чтобы понять влияние этого обстоятельства на спектры шумов квантования, предыдущий

сперимент был повторен только при восьми уровнях квантования (т. е. трех двоичных разрядах). На рис. 11.12 показана ошибка квантования при трехбитовом квантовании отрезка речевого сигнала, показанного на рис. 11.8 а.

Рис. 11.12. Ошибка квантования при трехбитовом квантовании (масштаб такой же, как и на графике исходного сигнала, изображенного на рис. 11.8 а)

Отметим, что отдельные части кривой ошибки становятся похожи на исходный сигнал. Можно ожидать, что это отразится на спектре мощности.

На рис. 11.13 показаны оценки автоковариации и спектра мощности для трехбитового квантования последовательности длиной в 14 000 выборок.

Рис. 11.13. (см. скан) Нормированная оценка автоковариации при трехбитовом квантовании (длина записи равна 14 000), оценка спектра мощности с использованием окна Бартлета при нормированная оценка автоковариации (в) и оценка спектра мощности с использованием окна Бартлета при

Автоковариация для этого случая, показанная на рис. 11.13а, в в меньшей степени похожа на идеальную автоковариацию белого шума. В табл. 11.1 даны первые десять значений для этого случая.

ТАБЛИЦА 11.1 (см. скан)

Рисунки 11.13 б, г показывают оценки спектра для окон Бартлета с соответственно. В этом случае спектр явно не плоский. (В действительности, он стремится к общей форме спектра речи.) Таким образом, модель белого шума может считаться только грубым приближением для шумов квантования в этом случае.

На рис. 11.14 показана нормированная взаимная ковариация между сигналом и шумом квантования . В этом случае ковариация несколько выше, однако все же можно принять допущение, что сигнал и ошибка квантования некоррелированны. Этот пример показывает, что оценки ковариации и спектра мощности часто используются для подтверждения теоретических моделей. В частности, мы продемонстрировали справедливость некоторых предположений, высказанных в гл. 9, и показали, что эти предположения становятся неверными при очень грубом квантовании.

Рис. 11.14. Нормированная оценка взаимной ковариации при трехбитовом квантовании: при

Это только один из простых, но полезных примеров того, как методы этой главы часто применяются на практике.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В главе были рассмотрены методы оценки средних значений дискретных случайных процессов. Наша цель состояла в том, чтобы ознакомиться с некоторыми результатами статистической

теории оценок и проиллюстрировать смысл этих результатов. Нас особенно интересовали приближенные результаты для среднего и дисперсии оценок автоковариации и спектра мощности стационарной случайной последовательности. Основное внимание было уделено процедурам вычисления оценок и применению БПФ. Последний раздел иллюстрирует применение некоторых из описанных в этой главе методов для изучения свойств шума квантования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)