8.3. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ С БЕСКОНЕЧНОЙ ЭНЕРГИЕЙ

Хотя -преобразование сигнала с бесконечной энергией не существует, автоковариационная и автокорреляционная последовательности подобного сигнала являются апериодическими последовательностями, для которых -преобразование и преобразование Фурье часто существуют. Ниже мы увидим, что спектральное представление этих средних играет важную роль в описании взаи-. мосвязи между входом и выходом для линейной инвариантной во времени системы, когда входным сигналом является сигнал с бесконечной энергией. Поэтому оказывается интересным рассмотреть свойства корреляционной и ковариационной последовательностей и соответствующие им -преобразования.

8.3.1. СВОЙСТВА КОРРЕЛЯЦИОННОЙ И КОВАРИАЦИОННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Существует ряд полезных свойств корреляционной и ковариационной функций, которые непосредственно следуют из определений.

Рассмотрим два действительных стационарных случайных процесса для которых автокорреляция, автоковариация, взаимная корреляция и взаимная ковариация определяются соответственно следующими выражениями:

где являются средними значениями этих двух процессов. Следующие свойства легко получаются из определений.

Свойство 1:

Эти результаты непосредственно следуют из (8.21) и (8.23) и показывают, что корреляционная и ковариационная последовательности равны, если

Свойство 2:

Свойство 3:

Свойство 4:

В частности,

Свойство 5: , то

Свойство 6: для многих случайных процессов случайные величины становятся менее коррелированными по мере того, как они становятся более разделенными во времени. Поэтому

Суть этих результатов состоит в том, что корреляция и ковариация являются апериодическими последовательностями, которые имеют тенденцию затухать при больших значениях т. Поэтому часто оказывается возможным представлять эти последовательности с, помощью их -преобразований.