7.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ ДПФ

Как уже было видно, периодические последовательности и последовательности конечной длины представляются дискретным преобразованием Фурье. Результаты предыдущих разделов не могут быть применены непосредственно к дискретному преобразованию Фурье. Однако при соответствующем определении физической реализуемости можно установить соотношения между действительной и мнимой частями дискретного преобразования Фурье так, как это было сделано в § 7.1 [7, 8].

Чтобы вывести эти соотношения, рассмотрим периодическую последовательность с периодом Напомним (см. гл. 3), что хотя речь идет о периодических последовательностях, наши рассуждения применимы к последовательностям конечной длины, если мы будем интерпретировать все индексы по модулю В самом деле, хотя наш вывод будет касаться свойств дискретных рядов Фурье (ДРФ), мы увидим, что результаты непосредственно применимы к представлению конечных последовательностей

дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). Как и в § 7.2., последовательность может быть представлена в виде суммы четной и нечетной последовательностей

В дальнейшем будем предполагать, что — четное число. Для нечетных можно вывести аналогичные результаты.

Периодическая последовательность не может быть, конечно, физически реализуемой в том смысле, который был принят в § 7.1. Мы будем, однако, называть «физически реализуемой» периодическую последовательность, у которой при равна нулю во второй половине периода.

Рис. 7.9. Четизя и нечетная части периодической действительной «физически реализуемой» последовательности

Предположим, что четно. Отметим, что в силу периодичности при Для последовательностей конечной длины это означает, что хотя длина последовательности считается равной в действительности вторая половина ее точек равна нулю. На рис. 7.9 показаны пример реализуемой периодической последовательности и ее четная и нечетная части при Так как равно нулю во второй половине каждого периода, равно нулю в первой части каждого периода, и, следовательно, за исключением ненулевые части не перекрываются. В связи с этим для «реализуемых» периодических последовательностей имеем

и

Если определить как периодическую последовательность вида

то для четных можно представить в виде

Отметим, что может быть полностью восстановлена по . С другой стороны, будет всегда равно нулю при , следовательно, может быть восстановлена по только при

Из гл. 3 видно, что для действительной периодической последовательности периода с дискретным рядом Фурье действительная часть является ДРФ от от Поэтому важным следствием соотношений (7.36) и (7.37) является то, что для физически реализуемых (в вышеупомянутом смысле) периодических последовательностей (и последовательностей конечной длины) функция может быть полностью восстановлена по своей действительной части или (почти полностью) по мнимой части. Аналогично может быть восстановлена по Дискретный ряд Фурье последовательности имеет вид

Из (7.36) замечаем, что является круговой сверткой Поэтому.

Приравнивая действительные и мнимые части, получим

Аналогично, исходя из (7.37), можно показать, что

Выражения (7.39а) и (7.396) являются круговыми свертками и могут быть вычислены с использованием Например, для вычисления (7.39а) сначала нужно вычислить обратный ДРФ от который равен а затем, умножая на и вычисляя получим Я

В § 3.5 мы ввели специальные обозначения для интерпретации в контексте последовательностей конечной длины. Так, последовательность конечной длины считалась одним периодом периодической последовательности где

С другой стороны, мы получим периодическую последовательность интерпретируя индекс по модулю Для этой цели мы ввели обозначение Эти обозначения также применялись для того, чтобы связать с Используя эти обозначения, можно записать (7.39а) в виде

а (7.39 б) в виде

Аналогичные определения можно, конечно, ввести для последовательности и ее ДПФ

При обсуждении вопросов достаточности действительной части для восстановления -преобразования установлена связь между логарифмом модуля и фазой для минимально-фазовой последовательности. В общем случае невозможно установить аналогичное соотношение между логарифмом модуля фазой ДПФ. Это

объясняется, тем что предыдущие рассуждения применяются к последовательностям конечной длины, Для которых -преобразование имеет только нули. Однако логарифм от имеет особые точки как в полюсах, так и в нулях поэтому его обратное -преобразование имеет бесконечную длину. Следовательно, обратное преобразование от логарифма этого преобразования не может в общем случае представляться дискретным преобразованием Фурье.

Конечно, возможно смоделировать фазовую функцию по логарифму модуля ДПФ с помощью вышеизложенного процесса, т. е. вычислить обратное ДПФ от умножить на и вычислить ДПФ результирующей последовательности. Действительная часть результата будет равна а мнимая часть будет аппроксимацией к минимальной фазе.

Чтобы понять этот процесс, предположим, что является -преобразованием последовательности конечной длины Если не имеет нулей вне единичного круга, то можно вычислить зная только Кроме того, соответствует физически реализуемой последовательности которая в общем случае может иметь бесконечную длину. Дискретное преобразование Фурье от равно , где не меньше длины последовательности Дискретное преобразование Фурье соответствует последовательности Ясно, что чем большим будет тем лучше будет результат. Вычисление ДПФ для того, чтобы получить для действительной части и аппроксимацию минимальной фазы, дает очень полезные результаты в некоторых практических ситуациях (см. гл. 10).