Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1.5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ И СИСТЕМ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИВ предыдущих разделах мы ввели несколько основных понятий теории дискретных сигналов и систем. Мы видели, что для линейных инвариантных к сдвигу систем представление входной последовательности в виде взвешенной суммы задержанных единичных импульсов приводит к представлению выхода в виде взвешенной суммы задержанных импульсных характеристик. Дискретные сигналы могут быть представлены различными способами, причем, как и для аналоговых сигналов и систем, особо важную роль для дискретных сигналов и систем играют синусоидальные и комплексные экспоненциальные последовательности. Это объясняется тем, что основное свойство линейных инвариантных к сдвигу систем состоит в том, что в установившемся состоянии отклик на синусоидальный входной сигнал является синусоидой той же частоты с амплитудой и фазой, определяемыми системой. Именно это свойство линейных инвариантных к сдвигу систем делает представление сигналов через синусоиды и комплексные экспоненты таким полезным. Чтобы убедиться в справедливости этого для дискретных систем, предположим, что входная последовательность является комплексной экспонентой круговой частоты
то можно записать
Отсюда видно, что Поскольку синусоиду можно представить как линейную комбинацию комплексных экспонент, то частотная характеристика также выражает отклик на синусоидальный сигнал. А именно, рассмотрим
Из (1.14) отклик на
или Частотная характеристика реагирует одинаково на комплексные экспоненты этих двух частот. Такое поведение понятно, так как эти две экспоненциальные последовательности совпадают друг с другом.
Рис. 1.9. Импульсная характеристика системы, для которой рассчитывается частотная характеристика
Рис. 1.10. Модуль и фаза частотной характеристики системы с импульсной характеристикой, изображенной на рис. 1.9 Пример. В качестве примера расчета частотной характеристики рассмотрим систему с импульсной характеристикой
(рис. 1.9). Частотная характеристика равна
Модуль и фаза Поскольку
Эти равенства можно также трактовать как представление последовательности Представление последовательности преобразованием (1.18) не ограничивается только импульсной характеристикой системы и будет справедливо для любой последовательности при условии, что ряд в (1.18) сходится. Поэтому для произвольной последовательности
а обратное преобразование Фурье — соотношением
Ряды (1.19) не всегда сходятся, как, например, в случаях, когда Если последовательность не является абсолютно суммируемой, но имеет конечную энергию, то можно использовать тип сходимости, при которой ряд сходится так, что среднеквадратическая ошибка равна нулю. Сопутствующие такому виду сходимости гиббсовские осцилляции в точках разрыва имеют практическое значение при проектировании фильтров и будут рассмотрены позже. Возможность представления последовательности как суперпозиции комплексных экспонент является очень важным качеством при анализе линейных инвариантных к сдвигу систем. Именно вследствие этого факта и принципа суперпозиции реакция такой системы на комплексную экспоненту полностью определяется частотной характеристикой входящую в представление сигнала
Этот результат имеет свой аналог в теории линейных систем с непрерывным временем и может быть, конечно, получен более строгим образом путем применения преобразования Фурье к свертке Чтобы проиллюстрировать полученные результаты, рассмотрим следующий пример. Пример. Идеальный фильтр нижних частот с дискретным временем имеет частотную характеристику
Так как
и показана на рис. 1.12 для
Рис. 1.11. Частотная характеристика идеального дискретного фильтра нижних частот
Рис. 1.12. Импульсная характеристика идеального фильтра нижних частот с частотой среза Идеальный фильтр нижних частот является примером системы, которая очень эффективно описывается в частотной области. Легко видеть, что эта система полностью удаляет из входного сигнала компоненты с частотой выше частоты среза
|
1 |
Оглавление
|