1.5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ И СИСТЕМ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ

В предыдущих разделах мы ввели несколько основных понятий теории дискретных сигналов и систем. Мы видели, что для линейных инвариантных к сдвигу систем представление входной последовательности в виде взвешенной суммы задержанных единичных импульсов приводит к представлению выхода в виде взвешенной суммы задержанных импульсных характеристик. Дискретные сигналы могут быть представлены различными способами, причем, как и для аналоговых сигналов и систем, особо важную роль для дискретных сигналов и систем играют синусоидальные и комплексные экспоненциальные последовательности. Это объясняется тем, что основное свойство линейных инвариантных к сдвигу систем состоит в том, что в установившемся состоянии отклик на синусоидальный входной сигнал является синусоидой той же частоты с амплитудой и фазой, определяемыми системой. Именно это

свойство линейных инвариантных к сдвигу систем делает представление сигналов через синусоиды и комплексные экспоненты таким полезным.

Чтобы убедиться в справедливости этого для дискретных систем, предположим, что входная последовательность является комплексной экспонентой круговой частоты для Тогда, используя (1.8), получим выходной сигнал Если ввести

то можно записать

Отсюда видно, что описывает изменение комплексной амплитуды комплексной экспоненты как функции частоты -. Величина называется частотной характеристикой системы, у которой импульсная характеристика равна В общем случае -комплексная функция и может быть выражена через свои действительную и мнимую части или через модуль и Иногда будет удобнее говорить о групповой задержке, а не о фазе. Групповая задержка определяется как взятая со знаком «минус» первая производная фазы по

Поскольку синусоиду можно представить как линейную комбинацию комплексных экспонент, то частотная характеристика также выражает отклик на синусоидальный сигнал. А именно, рассмотрим

Из (1.14) отклик на равен Если - действительная функция, то из (1.7) отклик на является комплексно-сопряженным с откликом на Поэтому результирующий отклик равен

или где значение фазочастотной характеристики системы на частоте

Частотная характеристика является непрерывной функцией частоты. Кроме того, это периодическая функция частоты «а с периодом Это свойство следует непосредственно из (1.13), так как То, что частотная характеристика имеет одинаковые значения на частотах со и означает, что система

реагирует одинаково на комплексные экспоненты этих двух частот. Такое поведение понятно, так как эти две экспоненциальные последовательности совпадают друг с другом.

Рис. 1.9. Импульсная характеристика системы, для которой рассчитывается частотная характеристика

Рис. 1.10. Модуль и фаза частотной характеристики системы с импульсной характеристикой, изображенной на рис. 1.9

Пример. В качестве примера расчета частотной характеристики рассмотрим систему с импульсной характеристикой

(рис. 1.9). Частотная характеристика равна

Модуль и фаза изображены на рис. 1.10 для случая

Поскольку -периодическая функция частоты, она может быть представлена в виде ряда Фурье. Фактически (1.13) и представляет в виде ряда Фурье, в котором коэффициентами Фурье являются значения импульсной характеристики Отсюда следует, что могут быть определены через как коэффициенты Фурье периодической функции [1—3], т. е.

Эти равенства можно также трактовать как представление последовательности . А именно, полезно рассматривать (1.17) как представление последовательности в виде суперпозиции (интеграла) экспоненциальных сигналов, комплексные амплитуды которых определяются выражением (1.18). Таким образом, (1.17) и (1.18) являются парой преобразований Фурье для последовательности где (1.18) играет роль прямого, а (1.17) обратного преобразования Фурье. Такое представление существует только тогда, когда ряд в (1.18) сходится.

Представление последовательности преобразованием (1.18) не ограничивается только импульсной характеристикой системы и будет справедливо для любой последовательности при условии, что ряд в (1.18) сходится. Поэтому для произвольной последовательности мы определим преобразование Фурье соотношением

а обратное преобразование Фурье — соотношением

Ряды (1.19) не всегда сходятся, как, например, в случаях, когда — единичная ступенчатая последовательность либо действительная или комплексная экспоненциальная последовательность для всех Имеются различные определения и интерпретации сходимости преобразования Фурье. Если абсолютно суммируема, т. е. если то называется абсолютно сходящимся и сходится равномерно к непрерывной функции Поэтому частотная характеристика устойчивой системы будет всегда сходиться. Если последовательность абсолютно суммируема, то она будет также иметь конечную энергию, т. е. будет конечной. Это прямо следует из неравенства Однако нельзя считать, что последовательность с конечной энергией абсолютно суммируема. Примером последовательности, имеющей конечную энергию, но не абсолютно суммируемой, является последовательность

Если последовательность не является абсолютно суммируемой, но имеет конечную энергию, то можно использовать тип сходимости, при которой ряд сходится так, что среднеквадратическая ошибка равна нулю. Сопутствующие такому виду сходимости гиббсовские осцилляции в точках разрыва имеют практическое значение при проектировании фильтров и будут рассмотрены позже.

Возможность представления последовательности как суперпозиции комплексных экспонент является очень важным качеством при анализе линейных инвариантных к сдвигу систем. Именно вследствие этого факта и принципа суперпозиции реакция такой системы на комплексную экспоненту полностью определяется частотной характеристикой Если рассматривать (1.20) как суперпозицию комплексных экспонент бесконечно малой амплитуды, то отклик линейной инвариантной к сдвигу системы на является суперпозицией откликов на каждую экспоненту,

входящую в представление сигнала Так как отклик на каждую комплексную экспоненту получается умножением на Поэтому преобразование Фурье выходного сигнала равно

Этот результат имеет свой аналог в теории линейных систем с непрерывным временем и может быть, конечно, получен более строгим образом путем применения преобразования Фурье к свертке Хотя этот более формальный подход дает строгое обоснование формулы (1.21), цель предыдущих рассуждений состояла в том, чтобы подчеркнуть, что (1.21) является прямым следствием особых свойств линейных систем, инвариантных к сдвигу.

Чтобы проиллюстрировать полученные результаты, рассмотрим следующий пример.

Пример. Идеальный фильтр нижних частот с дискретным временем имеет частотную характеристику вид которой изображен на рис. 1.11, т. е. для

Так как является периодической функцией, то это соотношение определяет частотную характеристику для всех со. Такая система удаляет из входного сигнала все компоненты в диапазоне частот Импульсная характеристика определяется по (1.17):

и показана на рис. 1.12 для

Рис. 1.11. Частотная характеристика идеального дискретного фильтра нижних частот

Рис. 1.12. Импульсная характеристика идеального фильтра нижних частот с частотой среза

Идеальный фильтр нижних частот является примером системы, которая очень эффективно описывается в частотной области. Легко видеть, что эта система полностью удаляет из входного

сигнала компоненты с частотой выше частоты среза Ясно, что идеальный фильтр нижних частот не является физически реализуемой системой, более того, можно показать, что он не является устойчивым в смысле определения, данного в 1.3. Тем не менее теоретически этот фильтр является очень важным и в гл. 5 будут рассмотрены методы построения систем, близких к идеальному фильтру низких частот.