9.3.1. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НИЗКОГО УРОВНЯ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ С ФИКСИРОВАННОЙ ЗАПЯТОЙ

Если устойчивый цифровой фильтр, построенный на основе арифметического устройства с неограниченной точностью, имеет на входе нулевое воздействие при количестве выборок превышающем некоторую величину то выходной сигнал для будет асимптотически затухать до нуля. Для такого же фильтра, выполненного на основе арифметики с конечной разрядностью регистров, выходной сигнал может уменьшаться до некоторого уровня ненулевых значений амплитуды, после чего он принимает колебательный характер. Этот эффект часто называют режимом предельного цикла низкого уровня, и он является следствием нелинейности квантователей в петле обратной связи фильтра. Режим предельного цикла цифрового фильтра является сложным и трудным для анализа, и мы не будем пытаться исследовать эту тему в каком-либо общем смысле. Для простых фильтров первого и второго порядков этот эффект можно понять. Объяснить существование таких колебаний можно с помощью эффективных полюсов фильтра, перемещающихся на единичную окружность [5—10]. Этот эффект лучше всего иллюстрируется с помощью примера.

Пример. В качестве иллюстрации эффектов предельного цикла рассмотрим систему первого порядка, характеризуемую разностным уравнением

Направленный сигнальный граф этой системы показан на рис. 9.5а. Предположим, что и что количество разрядов регистра для хранения коэффициента а, входного сигнала и узловой переменной фильтра равно четырем (т. е. знаковый разряд слева от двоичной запятой и три разряда справа от нее).

Рис. 9.5. Направленные графы для БИХ-систем первого порядка: а) идеальная линейная система; б) нелинейная система, обусловленная квантованием произведения

Из-за конечной разрядности регистров произведение должно быть округлено или усечено до четырех разрядов перед суммированием с Направленный граф, представляющий действительную реализацию, основанную на уравнении (9.14), показан на рис. 9.5 б. В предположении, что использовано округление произведения, действительный выходной сигнал будет удовлетворять нелинейному разностному уравнению

где представляет операцию округления. Предположим, что и что входной сигнал является единичной выборкой с амплитудой Из (9.15) видно, что для Чтобы вычислить умножим на а, получая в результате т. е. -разрядное число, которое должно быть округлено до -разрядного. Таким числом является 7/16, которое находится точно посредине между двумя -разрядными уровнями квантования 4/8 и 3/8. Если в таких случаях всегда выбирается округление до старшего разряда, то число округленное до четырех разрядов, будет равно Поскольку то Продолжая,

Рис. 9.6. Отклик на единичный скачок в системе первого порядка с квантованием при: а)

получим . В обоих этих случаях округление не требуется. Однако чтобы получить необходимо округлить -разрядное число до Такой же результат получается для всех значений Выходная последовательность для этого примера локазана на рис. 9.6а. Если то можно снова проделать вышеуказанные вычисления и показать, что выходная последовательность имеет вид, представленный на рис. 9.66. Таким образом, вследствие округления произведения выходная последовательность достигает постоянной величины 1/8. когда а и принимает форму установившегося периодического колебания между когда а Эти сигналы являются периодическими выходными сигналами, подобными тем, которые получались бы от фильтра первого порядка с полюсом в точке вместо Когда период колебания равен 1, и когда период колебания равен 2. Такие установившиеся периодические выходные сигналы называются предельными циклами, и их существование было впервые замечено Блэкманом который определил интервалы амплитуд, до которых такие предельные циклы ограничивались, как мертвые зоны. В этом случае мертвой зоной является

Возможное существование предельного цикла низкого уровня оказывается важным в приложениях, где предполагается продолжительная работа цифрового фильтра, поскольку, как правило, желательно, чтобы выходной сигнал приближался к нулю, когда входной сигнал является нулевым. Например, рассмотрим дискретизованный речевой сигнал, прошедший через цифровой фильтр и затем преобразованный снова в акустический сигнал с помощью цифро-аналогового преобразователя. В такой ситуации было бы очень нежелательно для фильтра входить в режим периодического предельного цикла всякий раз, когда входной сигнал равен нулю.

Джексон рассмотрел режим предельного цикла в системах первого и второго порядков путем анализа, основанного на ранее приведенном наблюдении, т. е. что при достижении предельного цикла система ведет себя так, как если бы ее полюсы находились на единичной окружности. В частности, рассмотрим фильтр первого порядка. По определению операции округления,

К тому же для значений при предельном цикле т. е. эффективное значение а равно 1 и соответствует полюсу фильтра, находящемуся на единичной окружности. Диапазон величин, для которых удовлетворяется это условие, равен или, решая для получим

Выражение (9.17) определяет мертвую зону для фильтра первого порядка. Как результат округления, величины, находящиеся внутри мертвой зоны, квантуются с шагом [Отметим, что (9.17) дает правильную величину для мертвой зоны, когда ] Всякий раз, когда узловая переменная попадает в мертвую зону при нулевом входном сигнале, фильтр входит в режим предельного цикла и остается в нем до тех пор, пока воздействие,

приложенное на входе, не выведет выходной сигнал из мертвой зоны.

Для фильтра второго порядка существует большее разнообразие режима предельного цикла. Рассмотрим разностное уравнение второго порядка

При полюсы фильтра являются комплексно-сопряженными и при полюсы находятся на единичной окружности. Практическое представление уравнения (9.18) имеет вид

где снова представляет операцию округления указанных произведений. Как и ранее, по определению операции округления

При полюсы системы будут лежать на единичной окружности, если Подставив это выражение в (9.20), получим или, решая для

Таким образом, если попадает в этот диапазон при входном сигнале, равном нулю, то эффективное значение является таким, что полюсы системы будут, очевидно, лежать на единичной окружности. При этих условиях величина определяет частоту колебаний.

В другом классе режима предельного цикла, который может возникать в фильтрах второго порядка, эффект округления приводит к расположению эффективных полюсов в точках Мертвая зона, соответствующая этому режиму, ограничена величиной Амплитуда колебаний предельного цикла в этой зоне, конечно, квантуется с шагом .

Кроме вышеперечисленных классов предельного цикла, может возникать более сильный вид колебаний предельного цикла, обусловленный переполнением. Эффект переполнения приводит к появлению грубой ошибки на выходе, и в некоторых случаях, начиная с этого момента, выходной сигнал фильтра периодически изменяется между предельными значениями максимальной амплитуды. Такие предельные циклы называются колебаниями переполнения. Проблема колебаний, обусловленных переполнением, детально обсуждалась Эбертом и другими [12].

Вышеизложенное обсуждение касалось только предельных циклов низкого уровня, происходящих за счет округления в БИХ-системах первого и второго порядков. Несмотря на то что анализ был в некоторой мере эвристическим, было установлено, что полученные простые формулы согласуются с экспериментальными результатами и оказываются полезными в предсказании режима предельного цикла в цифровых БИХ-фильтрах. Подобный стиль

анализа может использоваться и для операции усечения. При параллельной форме построения систем более высокого порядка выходные сигналы отдельных систем второго порядка будут независимыми, когда входной сигнал равен нулю. Следовательно, можно непосредственно использовать предыдущий анализ. В случае каскадных форм построения только первый блок имеет нулевой входной сигнал. Последующие блоки могут обусловить появление другого режима предельного цикла, либо их действие проявится просто при фильтрации выходного предельного цикла предыдущего звена. Как показывает анализ, для систем более высокого порядка, реализуемых на основе других структур, режим предельного цикла становится более сложным. Когда входной сигнал не равен нулю, эффекты квантования зависят от его вида и приведенный метод анализа оказывается полностью непригодным, за исключением простых входных сигналов, таких, как одиночная выборка, единичный скачок или синусоида. В других случаях сложность явлений квантования заставляет обращаться к статистической модели.

Кроме того, следует учесть, что вышеприведенные результаты оказываются полезными, когда отклик системы в виде предельного цикла низкого уровня представляет собой требуемый выходной сигнал. Это имеет место, например, при разработке цифровых гармонических осцилляторов для генерирования сигналов и формирования коэффициентов при дискретном преобразовании Фурье.