4.5.3. СТРУКТУРЫ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ КИХ-СИСТЕМ С ЛИНЕЙНОЙ ФАЗОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

Для многих приложений желательно создать фильтры, имеющие линейную фазовую характеристику. В этом случае сигналы, находящиеся в полосе пропускания, точно воспроизводятся на выходе фильтра, за исключением задержки, соответствующей наклону фазовой характеристики. Одной из наиболее важных особенностей КИХ систем является то, что они могут иметь строго линейную фазовую характеристику. Импульсная характеристика для физически реализуемых КИХ-систем с линейной фазой обладает свойством симметрии

Чтобы показать, что это условие означает линейную фазовую характеристику, запишем (4.37) в виде

где предполагается четным. Используя (4.40), можно записать

Если нечетное, то нетрудно видеть, что

Если преобразовать (4.41) и (4.42) с учетом то получим для четного

и для нечетного

В обоих случаях суммы в скобках являются действительными и учитывают линейный фазовый сдвиг, соответствующий задержке отсчетов. (Заметим, что для четного не является целым.)

Выражения (4.41) и (4.42) подразумевают прямую форму построения цепи, которая требует на четное) или на нечетное) умножений больше по сравнению с умножениями, необходимыми в общем случае, показанном на рис. 4.21. Эти цепи показаны на рис. 4.24 для четного и на рис. 4.25 для нечетного. Из рис. 4.24 и 4.25 могут, конечно, быть получены обращенные формы, как это делалось раньше.

Наложение условия симметрии (4.40) на коэффициенты полинома обусловит то, что нули образовывали зеркально-отображенные пары. Это значит, что если является нулем

то является также нулем Кроме того, если коэффициенты являются действительными, то нули H(z) образуют комплексно-сопряженные пары. Как следствие этого, действительные нули, не лежащие на единичной окружности, образуют взаимно обратные пары. Комплексные нули, не лежащие на единичной окружности, образуют группы из четырех комплексно-сопряженных и взаимно обратных нулей.

Рис. 4.24. Прямая форма построения КИХ-системы четного порядка с линейной фазовой характеристикой

Рис. 4.25. Прямая форма построения КИХ-системы нечетного порядка с линейной фазовой характеристикой

Если нуль расположен на единичной окружности, то его взаимно обратный нуль является также и комплексно-сопряженным. Следовательно, комплексные нули на единичной окружности оказываются удобно сгруппированными в пары. Действительные нули, расположенные на единичной окружности, т. е. нули в точках или являются их взаимно обратными и комплексно-сопряженными и, следовательно, определяются отдельно. Такие четыре случая показаны на рис. 4.26, где нули в точках рассматриваются как группа из четырех нулей. Нули в точках и рассматриваются как группа из двух нулей, так же как и нули в точках и . Нуль в точке 24 рассматривается отдельно. Соответственно этой группе нулей Я (2) можно представить в виде произведения сомножителей первого, второго и четвертого порядков. Каждый из этих сомножителей является полиномом, коэффициенты которого обладают той же симметрией, что и т. е. каждый сомножитель является полиномом с линейной фазовой характеристикой. Поэтому можно получить реализацию в виде каскада систем с линейной фазовой характеристикой первого, второго и четвертого порядков. Системы первого порядка, соответствующие нулю в точках не требуют умножений. Сомножители второго порядка будут иметь вид и поэтому потребуется только одно умножение. Блоки четвертого порядка будут иметь вид и потребуется три умножения, если их реализовать как структуры с линейной фазовой характеристикой, как на рис. 4.25.

Рис. 4.26. Симметрия нулей КИХ-фильтра с линейной фазовой характеристикой