5.2.2. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ ЧЕБЫШЕВА

В фильтре Баттерворта частотная характеристика является монотонной как в полосе пропускания, так и в полосе непропускания. Следовательно, если требования к фильтру заданы с помощью, допустим, максимальной ошибки аппроксимации в полосе пропускания, то они оказываются превышенными в области ее низкочастотной границы. Более эффективный подход, который обычно приводит к фильтру более низкого порядка, получается при равномерном распределении точности аппроксимации по всей полосе пропускания или полосе непропускания либо по обеим полосам. Это достигается при выборе аппроксимации, которая имеет характер равновеликих пульсаций, а не монотонный. Класс фильтров Чебышева обладает тем свойством, что его частотная характеристика имеет либо равновеликие пульсации в полосе пропускания и монотонный характер в полосе непропускания, либо является монотонной в полосе пропускания и обладает равновеликими пульсациями в полосе непропускания.

Первый случай показан на рис. 5.18. Аналитическое выражение для квадрата амплитудной характеристики имеет вид

где — полином Чебышева порядка, по определению равный

Например, для для для

Рис. 5.18. Аппроксимация фильтра Чебышева нижних, частот

Рис. 5.19. Расположение полюсов для фильтра Чебышева третьего порядка

Из (5.32), которое определяет полиномы Чебышева, нетрудно получить рекуррентную формулу, из которой может быть получен по - путем применения тригонометрических тождеств к (5.32), т. е.

Из (5.32) мы замечаем, что изменяется между нулем и единицей при изменении между нулем и единицей. Для больше единицы -является мнимой величиной так, что ведет себя как гиперболический косинус и, следовательно, монотонно возрастает с увеличением Тогда, как следует из (5.31), имеет пульсирующий характер между 1 и для и монотонно спадает при Для полного задания фильтра требуется три параметра: и При типовом расчете определяется допустимыми пульсациями в полосе пропускания, заданной частотой среза. Порядок выбирается затем таким, чтобы удовлетворялись требования для полосы непропускания.

Полюсы фильтра Чебышева лежат на эллипсе в s-плоскости [2, 7, 8]. Из рис. 5.19 видно, что эллипс определяется двумя окружностями соответственно малой и большой осям эллипса. Радиус малой оси равен где

Радиус большой оси равен где

Чтобы разместить полюсы фильтра Чебышева на эллипсе, мы сначала идентифицируем положение точек на большой и малой окружностях так, чтобы они были равномерно распределены по углу с интервалом и чтобы они располагались симметрично относительно мнимой оси. При этом ни одна из точек не должна попадать на мнимую ось, а на действительной оси могут быть точки только для нечетных . Такое деление большой и малой окружностей точно соответствует способу деления окружности при определении положений полюсов фильтра Баттерворта. Полюсы фильтра Чебышева располагаются на эллипсе с ординатой, определяемой точками на большой окружности, и абсциссой, определяемой точками на малой окружности. На рис. 5.19 показано расположение полюсов для случая

В качестве примера расчета фильтра Чебышева рассмотрим те же самые требования, что и для фильтра Баттерворта, и вновь сравним расчет на основе импульсной инвариантности с расчетом при использовании билинейного преобразования.

Расчет на основе импульсной инвариантности. Рассчитаем аналоговый фильтр Чебышева, для которого квадрат амплитудной характеристики удовлетворяет требованиям Должен быть выбран такой расчет, при котором удовлетворяются требования на при равновеликих пульсациях частотной характеристики между Следовательно, Для и для Поэтому мы выбираем большее значение Для этого значения параметры равны: Таким образом,

Передаточная функция цифрового фильтра, полученного на основе импульсной инвариантности, имеет вид

Важно отметить, что благодаря эффекту наложения ослабление на границе полосы непропускания при оказывается немного хуже, чем для аналогового фильтра. Однако так как расчет аналогового фильтра был произведен для большего ослабления, чем требовалось (из-за того, что должно было быть целым), то результирующий цифровой фильтр удовлетворяет заданным

требованиям. Графики результирующих цифровых амплитудной и фазовой характеристик показаны на рис. 5.20.

Рис. 5.20. (см. скан) Частотная характеристика фильтра Чебышева четвертого порядка иижних частот, полученного на основе метода импульсной инвариантности

Рис. 5.21. (см. скан) Частотная характеристика фильтра Чебышева четвертого порядка нижних частот, полученного на основе билинейного преобразования

Расчет при использовании билинейного преобразования. В этом случае требования на аналоговый фильтр являются такими, чтобы

Таким образом, параметр равен , как ранее, Наименьшей целой величиной для которой удовлетворяются требования в полосе непропускания, является Передаточная функция результирующего аналогового фильтра имеет вид

Соответствующий цифровой фильтр при использовании билинейного преобразования имеет передаточную функцию вида

Графики результирующих цифровых амплитудной и фазовой характеристик показаны на рис. 5.21.