10.5.2. МИНИМАЛЬНО- И МАКСИМАЛЬНО-ФАЗОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Рассмотрим некоторые важные следствия свойств 2—4. Сначала рассмотрим минимально-фазовую последовательность, -преобразование которой имеет вид

Ясно, что

и из свойства 2 следует, что

Поэтому для минимально-фазовой входной последовательности последовательность физически реализуема. В этом случае математическое представление системы можно существенно упростить. Напомним (см. гл. 7), что -преобразование физически реализуемой последовательности полностью определяется вещественной частью ее преобразования Фурье. Так как физически реализуемы, то, чтобы получить нужно только вычислить Напомним, что обратное преобразование Фурье от равно четной части которую обозначим Так как при то

Эти операции изображены на рис. 10.13. Последовательность называется кепстром входной последовательности вследствие сходства с определением Богерта и других.

Рис. 10.13. Реализация системы для минимальнофазового входного сигнала

Заметим, что только в том случае, когда входные последовательности являются минимально-фазовыми (или максимально-фазовыми), можно получить комплексный кепстр из кепстра так, как показано на рис. 10.13.

Другое представление получается из разностного уравнения (10.35). Если учесть (10.46), получим

Решая относительно получим рекуррентную формулу

Легко показать, что

Следовательно, (10.49) и (10.50) дают представление системы для минимально-фазовых систем. Из (10.49) также следует, что для минимально-фазовых входных последовательностей система физически реализуема, т. е. ее выходные сигналы при зависят только от тех входных значений, для которых где по произвольно. Аналогичным образом (10.48) и (10.50) представляют обратную характеристическую систему

Аналогичные результаты можно получить для максимально-фазовых последовательностей. Так как максимально-фазовая последовательность не имеет нулей и полюсов внутри единичного круга, то

Точно так же для вычисления необходимо знать только так как где

Поэтому схема, изображенная на рис. 10.15, применима и к максимально-фазовым последовательностям, если заменить на

Если подставить (10.51) в (10.35), то получим

Решая относительно получим

Эти соотношения являются представлением характеристической системы и обратной к ней для максимально-фазовых входных последовательностей.

Из рассуждений относительно минимально-фазовых и максимально-фазовых последовательностей вытекает интересное следствие для последовательностей конечной длины. Несмотря на

свойство 4, можно показать, что для входной последовательности длины требуется только выборок чтобы определить Рассмотрим -преобразование

где

Соответственно

где вне интервала вне интервала Поэтому последовательность отлична от нуля на интервале Используя предыдущие рекуррентные формулы, можно записать

Ясно, что требуется значений для вычисления значений для вычисления Поэтому для полного восстановления требуется только значений бесконечной последовательности