Глава 5. Методы проектирования и расчета цифровых фильтров
ВВЕДЕНИЕ
В наиболее общем смысле цифровой фильтр представляет собой линейную инвариантную к сдвигу дискретную систему, которая реализуется на основе использования арифметического устройства с ограниченной точностью. Проектирование цифрового фильтра включает три основных этапа: 1) определение требуемых свойств системы; 2) аппроксимацию этих требований на основе использования физически реализуемых дискретных систем; 3) реализацию системы при использовании арифметики с ограниченной точностью. Несмотря на то что эти три этапа не являются независимыми, мы находим более удобным в этой главе сосредоточить внимание в первую очередь на втором этапе, поскольку первый из них в сильной степени зависит от конкретного применения, а третий рассматривается в гл. 4 и 9.
При практической постановке задачи наиболее характерен случай, когда требуемый цифровой фильтр должен быть использован для фильтрации цифрового сигнала, который получен из аналогового сигнала путем образования периодических выборок. Требования как для аналоговых, так и для цифровых фильтров часто (но не всегда) задаются в частотной области, как, например, в случае частотно-избирательных фильтров, таких, как фильтры нижних или верхних частот и полосовые фильтры. При заданной частоте дискретизации структура цифрового фильтра может быть получена путем преобразования частотных требований для аналогового фильтра в частотные требования для цифрового фильтра. При этом аналоговые частоты определяются в герцах, а дискретные
частоты — в единицах частоты в радианах или углах единичной окружности с точкой 
соответствующей половине частоты дискретизации. Существуют, однако, применения, в которых подлежащий фильтрации цифровой сигнал не формируется путем образования периодических выборок аналоговой временной функции, и, как отмечалось в § 1.7, кроме образования периодических выборок существует множество способов представления аналоговых временных функций с помощью последовательностей. К тому же в большинстве методов расчета, которые будут рассмотрены, период дискретизации не играет роли в процедуре аппроксимации.
Отдельной проблемой является определение соответствующего набора требований для конкретного цифрового фильтра. Например, в случае фильтра нижних частот такие требования часто принимают вид допусков на ошибки аппроксимации, как показано на рис. 5.1. Пунктирная кривая представляет частотную характеристику системы, удовлетворяющую заданным требованиям.
Рис. 5.1. Допустимые пределы для аппроксимации идеального фильтра нижних частот
В данном случае имеется полоса пропускания, в пределах которой характеристика должна аппроксимироваться величиной, равной 1 с ошибкой 
Имеется полоса непропускания, в которой характеристика должна аппроксимироваться нулевым значением с ошибкой меньше, чем 
. Частота среза для полосы пропускания 
и для полосы непропускания 
задана с помощью угловой частоты 
-плоскости. Чтобы сделать возможной аппроксимацию идеального фильтра нижних частот таким способом, мы должны также представить переходную полосу ненулевой ширины (
-сор), в которой характеристика плавно спадает от значения в полосе пропускания до значения в полосе непропускания. Многие из фильтров, используемых на практике, задаются такой совокупностью допусков (но без ограничений на фазовую характеристику), кроме тех, которые налагаются требованиями устойчивости и физической реализуемости.
При данной совокупности требований (см. рис. 5.1) следующим этапом является нахождение линейной дискретной системы, характеристика которой изменяется в пределах указанных допусков. С этой точки зрения проблема расчета фильтра становится проблемой аппроксимации. В случае БИХ-систем мы должны
аппроксимировать требуемую частотную характеристику с помощью рациональной функции, тогда как в случае КИХ-системы мы имеем дело с полиномиальной аппроксимацией. Для удобства рассмотрение построено так, чтобы провести различие между методами расчета, которые соответствуют БИХ- и КИХ-фильтрам. Будут рассмотрены различные методы расчета для обоих типов фильтров. Эти методы включают как процедуры в замкнутой форме, которые сводятся к подстановке значений заданных параметров в расчетные формулы, так и метод оптимизации, где решение получается с помощью итерационной процедуры.
