4.3. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ПРИ ПОСТРОЕНИИ БИХ-СИСТЕМ

В результате анализа представления линейных инвариантных к сдвигу во времени дискретных систем, проведенного в двух предыдущих параграфах, показано, что каждой рациональной передаточной функции соответствует большое количество форм построения цепи. Естественно, что одним из важных соображений при выборе форм построения систем является вычислительная сложность. Это значит, что цепи с наименьшим количеством умножителей на константу и наименьшим числом ветвей задержки часто наиболее желательны, так как умножение является операцией продолжительной по времени и для каждого элемента задержки подразумевается использование регистра памяти. Следовательно, уменьшение количества умножителей означает увеличение быстродействия, а уменьшение числа элементов задержки — снижение требований к памяти. С другой стороны, необходимо учитывать, что эффекты конечной длины регистров при построении цифровых фильтров в виде специализированных устройств зависят от структуры последних. Поэтому иногда целесообразнее использовать те структуры, которые, хотя и не имеют минимального количества умножителей и элементов задержки, однако оказываются менее чувствительными к эффектам конечной длины регистров. Таким образом, важно обсудить некоторые из наиболее распространенных форм построения цепей. В этом параграфе рассматриваются БИХ-системы, а в § 4.5-КИХ-системы.

4.3.1. ПРЯМАЯ ФОРМА

Напомним, что если рассматривается рациональная передаточная функция вида

то соотношение между входом и выходом такой системы удовлетворяет разностному уравнению

Поскольку это разностное уравнение может быть записано непосредственно из выражения для передаточной функции (4.30), то форму построения цепи, соответствующей разностному уравнению (4.31), называют прямой формой 1. Простая структура реализации данного разностного уравнения показана на рис. 4.12.

Рис. 4.12. Прямая форма 1 реализации разностного уравнения порядка

При построении цепи для простоты принято, что Если это не выполняется, то некоторые из ветвей имеют нулевую передачу. На рис. 4.12 показан такой способ построения графа, при котором каждый узел имеет не больше двух входов. Несмотря на то, что эта условность приводит к большему числу узлов, чем необходимо, она согласуется с тем фактом, что при построении цифровых фильтров (как программным путем на ЦВМ, так и в виде специализированных устройств) операция суммирования нескольких чисел (больше двух) осуществляется на основе формирования отдельных сумм пар чисел. В цифровой аппаратуре в отдельный момент времени, как правило, суммируются только два числа.

Поскольку совокупности коэффициентов соответствуют полиномам числителя и знаменателя передаточной функции то структуру, показанную на рис. 4.12, можно трактовать как каскадное соединение двух цепей. Первая из них реализует нули, а вторая — полюсы системы. В линейных инвариантных к сдвигу системах общее соотношение между входом и выходом не зависит от порядка каскадного соединения блоков. Из этого свойства вытекает вторая прямая форма построения цепи. А именно, если сначала реализовать полюсы соответственно правой части структурной схемы рис. 4.12, а затем — нули, то получим структуру, показанную на рис. 4.13.

Поскольку в такой схеме имеется два ряда ветвей с передачей для одного и того же входа, то можно обойтись одним из них. Таким образом, цепь рис. 4.13 может быть видоизменена Так, как показано на рис. 4.14. Она часто носит название прямой формы 2. Следует отметить, что такая цепь имеет минимальное количество ветвей (большее из М или .V) с передачей Это

Рис. 4.13. Цепь рис. 4.12, в которой изменен порядок формирования полюсов и нулей

Рис. 4.14. Цепь рис. 4.13 с объединением двух рядов задержки в один ряд

Рис. 4.15. Пример структуры цепи, отличающейся от структуры на рис. 4.14, однако имеющей также минимальное число задержек

значит, что при построении системы с передаточной функцией вида (4.30) потребуется минимальное количество регистров задержки.

Другая структура цепи с минимальным количеством элементов задержки может быть получена на основе представления передаточной функции в виде

На рис. 4.15 показан направленный граф этой цепи. Существует много различных форм построения цепи, имеющих то же самое минимальное количество элементов задержки. Такие структуры часто называют канонической формой цепи.

4.3.2. КАСКАДНАЯ ФОРМА

Рассмотренная ранее прямая форма построения цепи следовала непосредственно из выражения для ее передаточной функции вида (4.30). Если в выражении для передаточной функции числитель и знаменатель разложить на простые дроби, то можно представить как

где . В этом выражении множители первого порядка представляют действительные нули в точке и действительные полюсы в точке а множители второго порядка представляют комплексно-сопряженные нули в точках и комплексно-сопряженные полюсы в точках Этот случай представляет наиболее общее распределение полюсов и нулей, когда все коэффициенты в (4.30) являются действительными. Соотношение (4.33) предполагает множество структур, образованных каскадным соединением блоков первого и второго порядков. Вполне очевидно, что существует значительная свобода в выборе как формы построения блоков, так и последовательности их расположения. На практике, однако, важно выполнить каскадное построение при минимальном объеме памяти, поэтому аппаратура часто строится с использованием разделения времени или мультиплексирования блоков только второго порядка. Этот подход удобно в общем случае рассмотреть на примере каскадной формы построения цепи, когда передаточная функция имеет вид

где — наибольшее целое число, содержащееся в (считается Использованная форма записи выражения для предполагает попарное объединение действительных полюсов и нулей. При этом, если число действительных нулей нечетное, то один из коэффициентов равен нулю. Аналогично, если число действительных полюсов нечетное, то один из коэффициентов равен нулю. Проведенное обсуждение построения структурных схем в прямой форме показало, что можно создать каскадную структуру с минимальной памятью, если каждый блок второго порядка выполнить в прямой форме 2.

Рис. 4.16. Структурная схема системы шестого порядка с каскадным соединением блоков второго порядка, выполненных в прямой форме 2

На рис. 4.16 показана структурная схема системы шестого порядка, в которой для построения каждого блока второго порядка использована прямая форма 2.

Как было отмечено, существует значительная гибкость как при выборе способа попарного объединения полюсов и нулей, так и порядка последовательности, в которой следует расположить сформированные блоки второго порядка. В предположении неограниченной точности представления переменных и коэффициентов

порядок расположения блоков и способ группирования нулей с полюсами не имеют значения (цепи будут эквивалентны). Однако на практике такие цепи могут значительно различаться из-за эффектов конечной разрядности представления чисел.

4.3.3. ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ФОРМА

В отличие от способа разложения полиномов числителя и знаменателя передаточной функции на множители, выражение для можно представить в виде разложения на простые дроби

Если коэффициенты в (4.30) являются действительными, то и величины — также действительные. Когда член исключается из (4.35).

Структурная схема, реализуемая на основе (4.35), может рассматриваться как параллельная комбинация систем первого и второго порядков. При таком построении цепи действительные полюсы могут быть попарно сгруппированы и выражение для примет вид

Типовой пример параллельной формы построения цепи при показан на рис. 4.17.

При обсуждении возможных структурных схем построения цепей были учтены все наиболее часто встречающиеся варианты. Однако существует много и других структур, которые реализуют различные способы представления уравнений системы или полиномов числителя и знаменателя ее передаточной функции. Некоторые примеры таких структур можно найти в литературе [4—8].

Рис. 4.17. Параллельная форма построения цепи с попарным группированием действительных и комплексных полюсов