4.7.3. ФОРМУЛА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ЦЕПИ
В § 4.6 обсуждалась проблема чувствительности параметров с точки зрения перемещения полюсов и нулей. В частности, сравнивались цепи с прямой, каскадной и параллельной формами построения. Для более сложных цепей оказывается не так просто получить общую взаимосвязь между полюсами и нулями и параметрами цепи. С помощью теоремы Теледжена можно получить общее выражение для чувствительности передаточной функции данной цепи к изменениям ее параметров. Формулы этого типа оказываются полезными, например, при анализе цифровых цепей с помощью ЦВМ.
Применительно к этому обсуждению удобно определить передаточную функцию между произвольной парой узлов
цепи. В частности, будем считать все истоковые узлы, кроме тех, которые подсоединены к узлу а, равными нулю. Тогда узловая переменная
будет определяться выражением
В таком случае
является передаточной функцией от узла а к узлу
Чувствительность этой передаточной функции к изменениям в передаче ветви
определяется как
Фитвейс [19], Севайэра и Сэблэтэш [18] показали, что
где не показана функциональная зависимость от
является передаточной функцией от узла а к узлу
— передаточной функцией от узла
к узлу
Для проверки этого результата рассмотрим три цепи, изображенные на рис. 4.40. Исходная цепь, показанная на рис. 4.40 а, определяется с помощью переменных без штриха и для удобства называется цепью без штриха.
Рис. 4.40. (см. скан) Три цепи, используемые при выводе соотношений (4.77) для чувствительности цепи: а) исходная цепь; б) обращенная цепь (система с одним штрихом); в) исходная цепь с ошибкой в передаче ветви (система с двумя штрихами)
На рис. 4.40 б показана обращенная форма исходной цепи, названная цепью со штрихом, а на рис. 4. 40 — исходная система с погрешностью
в передаче ветви
Эта цепь называется цепью с двумя штрихами. Предположим, что каждая цепь возбуждается одним и тем же источником X, как изображено на рис. 4.40.
Используя (4.65) для систем с одним и с двумя штрихами, получим
Путем разделения двойной суммы в (4.78) на две двойные суммы и смены индексов во второй результирующей двойной сумме получим
Используя (4.79) и тот факт, что, по определению,
получим
Из рис. 4.40 видно, что цепи с одним и двумя штрихами являются обращенными, за исключением ветви
Таким образом, из определения транспозиции
для всех
и
кроме ветви
Все члены в двойной сумме (4.80), за исключением одного, равны нулю. Кроме того, так как только один узел в каждой цепи имеет ненулевой источник входного сигнала (узел а для цепи с двумя штрихами, узел
для цепи с одним штрихом), то можно записать, что
Теперь выразим узловые переменные в (4.81) через входной сигнал источника X и соответствующие передаточные функции от входных истоковых узлов в виде
где АТаь — изменение в передаточной функции, обусловленное изменением
в передаче ветви
Подставляя эти выражения в (4.81), получим
Поскольку это выражение справедливо для всех X, то
или
Переходя к пределу в
получим
По мере того как
цепь с двумя штрихами приближается к цепи без штриха так, что
Таким образом, мы получили искомую чувствительность изменения в передаточной функции
к изменению передачи ветви
Полезным свойством этого выражения является то, что чувствительность выражается через передаточную функцию цепи, которая может быть вычислена с использованием матричных методов § 4.2. Чтобы определить изменение
в передаточной функции
при значительном изменении Лпт. можно воспользоваться разложением в ряд Тейлора
Производные более высоких порядков (чувствительности)
по отношению к
могут быть получены из (4.85) с помощью цепного правила дифференцирования. Крошье (Crochiere) [20] показал, что этот подход приводит к выражению