4.7.3. ФОРМУЛА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ЦЕПИ

В § 4.6 обсуждалась проблема чувствительности параметров с точки зрения перемещения полюсов и нулей. В частности, сравнивались цепи с прямой, каскадной и параллельной формами построения. Для более сложных цепей оказывается не так просто получить общую взаимосвязь между полюсами и нулями и параметрами цепи. С помощью теоремы Теледжена можно получить общее выражение для чувствительности передаточной функции данной цепи к изменениям ее параметров. Формулы этого типа оказываются полезными, например, при анализе цифровых цепей с помощью ЦВМ.

Применительно к этому обсуждению удобно определить передаточную функцию между произвольной парой узлов цепи. В частности, будем считать все истоковые узлы, кроме тех, которые подсоединены к узлу а, равными нулю. Тогда узловая переменная будет определяться выражением

В таком случае является передаточной функцией от узла а к узлу Чувствительность этой передаточной функции к изменениям в передаче ветви определяется как

Фитвейс [19], Севайэра и Сэблэтэш [18] показали, что

где не показана функциональная зависимость от является передаточной функцией от узла а к узлу — передаточной функцией от узла к узлу

Для проверки этого результата рассмотрим три цепи, изображенные на рис. 4.40. Исходная цепь, показанная на рис. 4.40 а, определяется с помощью переменных без штриха и для удобства называется цепью без штриха.

Рис. 4.40. (см. скан) Три цепи, используемые при выводе соотношений (4.77) для чувствительности цепи: а) исходная цепь; б) обращенная цепь (система с одним штрихом); в) исходная цепь с ошибкой в передаче ветви (система с двумя штрихами)

На рис. 4.40 б показана обращенная форма исходной цепи, названная цепью со штрихом, а на рис. 4. 40 — исходная система с погрешностью в передаче ветви Эта цепь называется цепью с двумя штрихами. Предположим, что каждая цепь возбуждается одним и тем же источником X, как изображено на рис. 4.40.

Используя (4.65) для систем с одним и с двумя штрихами, получим

Путем разделения двойной суммы в (4.78) на две двойные суммы и смены индексов во второй результирующей двойной сумме получим

Используя (4.79) и тот факт, что, по определению, получим

Из рис. 4.40 видно, что цепи с одним и двумя штрихами являются обращенными, за исключением ветви Таким образом, из определения транспозиции для всех и кроме ветви Все члены в двойной сумме (4.80), за исключением одного, равны нулю. Кроме того, так как только один узел в каждой цепи имеет ненулевой источник входного сигнала (узел а для цепи с двумя штрихами, узел для цепи с одним штрихом), то можно записать, что

Теперь выразим узловые переменные в (4.81) через входной сигнал источника X и соответствующие передаточные функции от входных истоковых узлов в виде

где АТаь — изменение в передаточной функции, обусловленное изменением в передаче ветви Подставляя эти выражения в (4.81), получим Поскольку это выражение справедливо для всех X, то

или

Переходя к пределу в получим

По мере того как цепь с двумя штрихами приближается к цепи без штриха так, что

Таким образом, мы получили искомую чувствительность изменения в передаточной функции к изменению передачи ветви Полезным свойством этого выражения является то, что чувствительность выражается через передаточную функцию цепи, которая может быть вычислена с использованием матричных методов § 4.2. Чтобы определить изменение в передаточной функции при значительном изменении Лпт. можно воспользоваться разложением в ряд Тейлора

Производные более высоких порядков (чувствительности)

по отношению к могут быть получены из (4.85) с помощью цепного правила дифференцирования. Крошье (Crochiere) [20] показал, что этот подход приводит к выражению