2.1. ПРЯМОЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

-преобразование последовательности определяется следующим образом:

где — комплексная переменная. Иногда будет удобно обозначать -преобразование последовательности как . В некоторых случаях полезно называть -преобразование (2.1) двусторонним -преобразованием и рассматривать также одностороннее -преобразование, определяемое как Ясно, что если при О, то одностороннее и двустороннее -преобразования эквивалентны, обратное в общем случае неверно. В этой книге мы будем рассматривать только двустороннее -преобразование, определенное (2.1).

Если представить комплексную переменную в полярных координатах , то (2.1) можно интерпретировать как преобразование Фурье в соответствии с определением гл. 1. А именно, при подстановке в таком виде (2.1) становится равным

или

Поэтому согласно (2.2) -преобразование можно интерпретировать как преобразование Фурье последовательности умноженной на экспоненциальную последовательность. При т. е. при -преобразование равно преобразованию Фурье последовательности.

Как мы видели в гл. 1, ряд, представляющий преобразование Фурье, сходится не для всех последовательностей. Аналогично -преобразование сходится не для всех последовательностей и не для всех значений Для любой последовательности множество

тех значений для которых z-преобразование сходится, называется областью сходимости. Как мы констатировали в § 1.5, для равномерной сходимости преобразования Фурье требуется, чтобы эта последовательность была абсолютно суммируемой. Применяя это условие к (2.2), мы потребуем, чтобы

Из (2.3) должно быть ясно, что вследствие умножения последовательности на действительную экспоненту возможен случай, что -преобразование сходится даже тогда, когда не сходится преобразование Фурье. Например, последовательность не является абсолютно суммируемой, и, следовательно, ее преобразование Фурье не сходится. Однако — абсолютно суммируемая последовательность при , следовательно, -преобразование единичной ступенчатой последовательности существует с областью сходимости

В общем случае степенной ряд (2.1) будет сходиться в кольцевой области -плоскости:

где может достигать нуля, — бесконечности. Например, область сходимости -преобразования последовательности определяется значениями

Степенной ряд вида (2.1) является рядом Лорана. В связи с этим для изучения -преобразования можно использовать многие теоремы из теории функций комплексного переменного (см., например, [3]). Ряд Лорана, а следовательно, и -преобразование представляют аналитическую функцию в каждой точке области сходимости, поэтому -преобразование и все его производные должны быть непрерывными функциями переменной внутри области сходимости.

В § 1.5 мы говорили о том, что существуют некоторые последовательности, которые не являются абсолютно суммируемыми, но имеют конечную энергию, и что в таких случаях можно считать, что преобразование Фурье все же существует, если понимать сходимость в смысле стремления среднеквадратичной ошибки к нулю. Примером гакой последовательности является импульсная характеристика идеального фильтра низких частот. В этом случае -преобразование не существует, так как для идеального фильтра нижних частот преобразование Фурье не является непрерывной, а следовательно, и аналитической функцией. В тех случаях, когда существует преобразование Фурье, но не существует -преобразование, мы все же будем считать преобразование Фурье как значение -преобразования при хотя это, строго говоря, неправильно.

Важный класс -преобразований представляют преобразования являющиеся рациональными функциями, т. е. отношениями

полиномов от 2. Корнями полинома числителя являются те значения при которых эти значения называются нулями Значения при которых бесконечно, называются полюсами Полюсы при конечных 2 являются корнями полинома знаменателя. Кроме того, полюсы могут быть в точках или Для рациональных -преобразований имеется ряд важных соотношений между расположением полюсов и областью сходимости -преобразования. Ясно, что в области сходимости не может быть полюсов так как -преобразование не сходится в полюсе. В дальнейшем мы покажем, что область сходимости ограничена полюсами.

Часто удобно изображать -преобразование графически с помощью диаграммы нулей и полюсов в -плоскости. Например, рассмотрим последовательность Ее -преобразование дается рядом который сходится к для Переписывая как отношение полиномов от мы видим, что имеет нуль в точке и полюс в точке Это показано на рис. 2.1, где нуль обозначен кружком, а полюс — крестиком. Область сходимости обозначена штриховкой и включает все на плоскости, удовлетворяющие условию

Рис. 2.1. Диаграмма полюсов и нулей и область сходимости в -плоскости для -преобразования последовательности

Свойства последовательности определяют область сходимости Чтобы увидеть, как область сходимости связана с последовательностью, рассмотрим ряд частных случаев;

1. Последовательности конечной длины. Предположим, что только конечное число членов последовательности отлично от нуля так, что

где — конечные целые числа. Для сходимости этого выражения требуется, чтобы при При этом может принимать все значения, за исключением если если Таким образом, последовательности конечной длины имеют область сходимости, включающую, по крайней мере, все удовлетворяющие неравенствам она может включать также либо либо

2. Правосторонние последовательности. Правосторонней последовательностью называется последовательность, у которой при -преобразование такой последовательности равно

Областью сходимости этого ряда является внешняя область круга. Чтобы убедиться в этом, предположим, что ряд абсолютно сходится при так что

Если рассмотрим ряд то увидим, что если то при каждый член этого ряда меньше соответствующего члена ряда (2.7) и поэтому для Если то мы запишем ряд в виде

Первая сумма в правой части (2.8) конечна для любого конечного Второй ряд по предыдущим соображениям сходится при Поэтому, если — наименьшее значение при котором ряд (2.6) сходится, то он сходится при за исключением при Поэтому правосторонняя последовательность имеет область сходимости, являющуюся внешней частью круга радиуса Заметим, что если т. е. последовательность является физически реализуемой, то -преобразование будет сходиться при Если то оно не сходится при Поэтому если область сходимости -преобразования последовательности есть внешняя часть круга, то эта последовательность — правосторонняя. Более того, если область включает то последовательность является физически реализуемой.

Из (2.7) мы также отметим, что так как ряд сходится, то каждый его член ограничен и поэтому существует конечная постоянная А, такая, что

Выражая как где — положительное число, большее получим , следовательно, для сходимости -преобразования последовательность должна расти не быстрее экспоненты при Если область сходимости простирается внутрь единичного круга, так что может быть выбрано меньше единицы, то должно стремиться к нулю со скоростью экспоненты при

Пример: Примером правосторонней последовательности является последовательность которая, как мы видели, имеет -преобразование

3. Левосторонние последовательности. Левосторонней последовательностью называется последовательность, у которой при . Ее -преобразование равно

Заменяя индекс суммирования путем подстановки получим Следовательно, результаты, справедливые для правосторонних последовательностей, применимы к этому случаю при замене на на Можно показать, что областью сходимости будет внутренность круга за исключением точки если Если -преобразование левосторонней последовательности сходится при то последовательность равна нулю при пО. Далее, если сходится при то при где А — конечная постоянная. Поэтому для сходимости -преобразования необходимо, чтобы последовательность росла не быстрее экспоненты при Если область сходимости включает единичный круг, то должно стремиться к 0 при

Пример. В качестве примера левосторонней последовательности сначала рассмотрим -преобразование этой последовательности равно

Этот ряд сходится при или при и в этом случае

Полюс и нуль, а также область сходимости показаны на рис. 2.2. Отметим, что если то функция в (2.12) совпадает с функцией (2.10). Это иллюстрирует тот важный факт, что для точного определения -преобразования последовательности требуется знание не только функции но также и области сходимости.

4. Двусторонние последовательности. Двусторонней последовательностью называется последовательность, простирающаяся от до . В этом общем случае можно записать

Первый ряд соответствует правосторонней последовательности и сходится при второй ряд соответствует левосторонней последовательности и сходится при Если то имеется общая область сходимости, определяемая неравенствами

Если то нет общей области сходимости и поэтому ряд (2.13) не сходится. Для области сходимости, определяемой соотношением (2.14), последовательность не может расти быстрее экспоненты в обоих направлениях, и если то последовательность стремится к нулю экспоненциально в обоих направлениях.

Рис. 2.2. Диаграмма полюсов и нулей и область сходимсти в -плоскости для -преобразования последовательности —

Рис. 2.3. Диаграмма полюсов и нулей и область сходимости для последовательности

Такие последовательности имеют как преобразование Фурье, так и -преобразование.

Пример. Рассмотрим последовательность

где Используя результаты двух предыдущих примеров, получим

где область сходимости определяется неравенствами

Полюсы, нули и область сходимости показаны на рис. 2.3. Областью сходимости является пересечение заштрихованных областей.