10.5.3. СЛУЧАЙ, КОГДА ПОЛЮСЫ И НУЛИ НАХОДЯТСЯ НА ЕДИНИЧНОЙ ОКРУЖНОСТИ

До сих пор мы полагали, что на единичной окружности нет полюсов и нулей. С точки зрения теории и расчетов для этого есть веские причины. Напомним, что при математическом представлении характеристической системы в качестве контура интегрирования выбирается единичная окружность. Если имеет полюсы или нули на единичной окружности, то область сходимости не будет содержать эту окружность. Можно показать, что представляется рядом Фурье

сходящимся в определенном смысле. Однако действительная часть комплексного логарифма бесконечна, а мнимая разрывна. Было бы желательным, по возможности, избежать этих дополнительных трудностей.

Формально этого можно достичь, используя другой контур С для вычисления по или, что эквивалентно, умножая входную последовательность на экспоненциальную где а действительно и положительно. Результирующая последовательность имеет -преобразование Таким образом, полюсы и нули сдвинулись по радиусу в соответствии с коэффициентом Важно отметить, что если то так что т. е. экспоненциальное взвешивание свертки дает свертку экспоненциально взвешенных последовательностей.

Кроме средства смещения особых точек с единичной окружности экспоненциальное взвешивание является также полезным способом преобразования сигнала общего вида в минимально-фазовый или максимально-фазовый сигнал.