7.2. УСЛОВИЕ МИНИМАЛЬНОСТИ ФАЗЫ

В предыдущем разделе -преобразование физически реализуемой последовательности было восстановлено по его действительной или мнимой части на единичной окружности. В этом разделе будут рассмотрены условия, при которых можно

восстановить -преобразование по его амплитуде или фазе на единичной окружности. Эти условия важны во многих теоретических и практических ситуациях. Например, цифровые фильтры часто определяются своей амплитудно-частотной характеристикой. В этих случаях фазовая характеристика не может быть выбрана произвольно, если мы хотим получить устойчивую и физически реализуемую систему. Результаты этого параграфа также очень важны для теории гомоморфных систем, которая развита в гл. 10. Еще один пример характерен для инверсной фильтрации, когда необходимо получить подходящую фазовую кривую при данной автокорреляционной функции (что эквивалентно квадрату амплитуды преобразования Фурье) [9, 11 —13].

Предположим, что представлено в полярной форме (амплитудой и фазой) Рассмотрим комплексный логарифм от определяемый выражением

Если трактовать как -преобразование последовательности то из результатов предыдущего параграфа следует, что будут преобразованиями Гильберта друг от друга тогда и только тогда когда является действительной и физически реализуемой последовательностью. При рассмотрении этого вопроса нужно позаботиться об интерпретации (7.20). В частности, логарифм расходится в нуле и является неопределенной величиной, так как, не изменяя значения к его фазе можно прибавить любое число, кратное Так как мы хотим трактовать как -преобразование действительной физически реализуемой и устойчивой последовательности, необходимо, чтобы область сходимости включала единичную окружность и, следовательно, функция — аналитической в области, включающей единичную окружность. Тогда в этой области должна представляться сходящимся степенным рядом где Так как бесконечно как в полюсах, так и в нулях мы потребуем, чтобы в области сходимости не было полюсов и нулей Хотя в общем случае не однозначная величина, эта неопределенность разрешается тем фактом, что из аналитичности следует, что действительная и мнимая части должны быть непрерывными функциями от , следовательно, если аналитична, то мы должны определить в (7.20) как непрерывную функцию. Кроме того, будем требовать, чтобы для действительной последовательности было бы -преобразованием также действительной последовательности. Поэтому будет определяться так, что при это — нечетная непрерывная функция

Рассмотрим теперь действительную устойчивую

последовательность -преобразованием которой является Из предыдущего раздела ясно, что если физически реализуема, то а следовательно, и могут быть восстановлены по или Этому равноценно утверждение, что если действительна, устойчива и физически реализуема, то можно применить (7.17) и (7.18) для того, чтобы определить соотношение между логарифмом модуля и фазой следующим образом:

Отметим, что без знания определяется через только с точностью до постоянного множителя.

Требование, чтобы были бы парой преобразования Гильберта, часто называется условием минимальности фазы [4, 5, 14]. Это соответствует требованию, чтобы последовательность была физически реализуемой. Тогда, как следует из гл. должна быть аналитической функцией в области где т. е. должна быть аналитической всюду вне единичного круга. Таким образом, не может иметь сингулярностей вне единичного круга. Так как это сводится к требованию, чтобы не имело полюсов или нулей вне единичного круга. Это требование к можно рассматривать как другое выражение условия минимальности фазы. Эквивалентным условием является то, что существует физически реализуемая и устойчивая обратная система с передаточной функцией: Так как то ясно, что должна иметь свои полюсы и нули внутри единичного круга для того, чтобы существовала устойчивая и физически реализуемая обратная система.

В дальнейшем под минимально-фазовой системой будем понимать систему, частотная характеристика которой имеет минимальную фазу, т. е. логарифм модуля и фаза являются парой преобразования Гильберта. Аналогично минимально-фазовая последовательность — это последовательность, преобразование Фурье которой имеет минимальную фазу. Следует подчеркнуть, что система (последовательность) может быть физически реализуемой, но не минимально-фазовой. Однако все устойчивые минимально-фазовые системы (последовательности) физически реализуемы. Чтобы проследить связь между физической реализуемостью и расположением полюсов и нулей поучительно рассмотреть средства нахождения . В частности, из

гл. 2 известно, что является -преобразованием от Но

Если — рациональная функция от то не является рациональной функцией, но ее производная является таковой. Следовательно, она может характеризоваться полюсами и нулями. Если представить как отношение полиномов то

Таким образом, видно, что полюсы производной являются корнями т. е. полюсами и нулями Так как мы считаем, что единичная окружность находится в области сходимости, то или, что то же самое, будут физически реализуемы тогда и только тогда, когда полюсы и нули находятся внутри единичного круга.

Пример. Рассмотрим последовательность для которой имеет один нуль при и один полюс при Так как то все нули и полюсы лежат внутри единичного круга и, следовательно, — минимально-фазовая последовательность. Чтобы доказать, что действительно физически реализуемая, вычислим ее в соответствии с (7.23): Поэтому, так как мы предположили, что единичная окружность находится в области сходимости, то , следовательно, — физически реализуема.

Свойства последовательности будут важны для гл. 10. Здесь же мы сосредоточили внимание на свойствах минимальнофазовых последовательностей.

Минимально-фазовая последовательность обладает тем свойством, что все полюсы и нули ее -преобразования лежат внутри единичного круга. В общем случае устойчивая физически реализуемая система имеет полюсы внутри единичного круга, но ее нули не обязательно должны лежать внутри единичного круга. Покажем, что любая система может быть представлена как каскадное соединение минимально-фазовой системы с всепропускающей системой, которая определяется как система, у которой амплитуда передаточной функции равна единице для всех частот. Таким образом, если обозначить через -преобразование всепропускающей системы, то для всех .

Передаточная функция простой всепропускающей системы первого порядка имеет вид

Можно показать, что даваемое выражением (7.24)

имеет единичную амплитуду. При соответствующее расположение нулей и полюсов показано на рис. 7.4. В более общем случае передаточные функции всепропускающих систем представляют собой произведение сомножителей вида , следовательно, обладают тем свойством, что их полюсы и нули появляются в обратно-сопряженном расположении.

Рис. 7.4. Расположение полюса и нуля для всепропускающей системы первого порядка

Рассмотрим неминимально-фазовую систему которая имеет, например, один нуль вне единичного круга в при а остальные полюсы и нули — внутри единичного круга. Тогда можно представить в виде

где имеет минимальную фазу. Можно представить (7.25) в виде

Так как то сомножитель имеет минимальную фазу, а сомножитель соответствует всепропускающей системе. Член отличается от тем, что нуль который был вне единичного круга в точке отражается внутрь единичного круга при функции Ясно, что этот пример можно обобщить так, чтобы включить общие неминимально-фазовые системы с рациональными передаточными функциями. Следовательно, кожно сделать заключение, что рациональная передаточная функция соответствующая физически реализуемой системе, может быть представлена в виде

где имеет минимальную фазу, соответствует всепропускающей системе. Любой полюс или нуль функции который лежит внутри единичного круга, появляется также и в Любой полюс или нуль который находится вне единичного круга, появляется в в сопряженно-обратном расположении, т. е. симметрично относительно единичной окружности. Таким образом, можно сформировать минимально-фазовую систему из неминимально-фазовой системы, оставляя той же самой амплитуду частотной характеристики путем отражения внутрь единичного круга тех нулей, которые были вне единичного круга. Обратно, имея передаточную функцию минимально-фазовой системы, можно получить неминимально-фазовую систему

путем отражения нулей в область, находящуюся вне единичного круга. Например, в случае последовательностей конечной длины -преобразование является просто полиномом от имеет полюсы только при равном 0. Для последовательности длиной имеет нулей. Для заданной частотной характеристики можно получить различных фазовых кривых путем простого отражения нулей относительно единичной окружности.

Пример. Рассмотрим мннимально-фазовую импульсную характеристику конечной длины Импульсная характеристика такой системы изображена на рис. 7.5а. Передаточная функция, соответствующая этой импульсной характеристике, равна

где Амплитудно- и фазочастотные характеристики показаны на рис. 7.5 в, г соответственно.

Рис. 7.5. Минимальио-фазовая система: а) импульсная характеристика; б) диаграмма полюсов и нулей в -плоскости; в)

(Отметим, что изображен с точностью до числа, кратного нормирован относительно пикового значения для удобства изображения.) В соответствии с предыдущим обсуждением можно получить новую систему с той же самой амплитудно-частотной характеристикой, умножая Нмин на подходящую передаточную функцию всепропускающей системы, как в (7.26). В этом случае можно отразить одну пару комплексно-сопряженных нулей, используя систему

Таким образом,

Отмечаем, что четыре нуля функции симметричны в указанном смысле, что является характерным свойством линейно-фазовых систем. Действительно, импульсная характеристика соответствующая как видно из рис. 7.6 а, симметрична относительно точки что соответствует линейной фазовой характеристике с наклоном, отвечающим задержке на две выборки.

Рис. 7.6. Линейно-фазовая система: а) импульсная характеристика; б) диаграмма полюсов и нулей в -плоскости; б)

Как видно сравнения рис. 7.5 в и рис. 7.6 в, равно однако импульсные характеристики и фазовые характеристики, соответствующие существенно различны.

На рис. 7.7 показаны расположение нулей и полюсов на г-плоскости и для всепропускающей системы. Модуль равен единице для всех значений со. Мы опять изобразили по модулю для удобства. Однако из рис. 7.7б ясно, что если бы фаза вычислялась как непрерывная функция , то был бы всегда отрицательным. Если эту фазовую кривую прибавить к фазе минимально-фазовой системы (рис. 7.5г), то получится линейная фазовая характеристика, изображенная на рис. 7.6г.

Этот простой пример иллюстрирует ряд важных свойств минимально-фазовых систем. Во-первых, сравнение фазовых кривых рис. 7.5г и рис. 7.6г поясняет смысл термина «минимальная фаза». Как было сказано выше, если рассматривать множество физически реализуемых действительных и устойчивых последовательностей, имеющих одну и ту же амплитудно-частотную характеристику, то -преобразования всех этих последовательностей

могут быть представлены в виде произведения минимально-фазового -преобразования и функции, соответствующей всепропускающей системе [см. (7.26)]. Как видно из приведенного примера, функция, соответствующая всепропускающей системе, имеет отрицательную фазу при , следовательно, отражение нуля минимально-фазовой функции в область вне единичного круга алгебраически уменьшает фазу, т. е. делает более отрицательным так называемое фазовое запаздывание. Поэтому более точным термином было бы минимальное фазовое запаздывание.

Рис. 7.7. Всепропускающая система, с помощью которой из системы рис. 7.5 можно получить систему рис. 7.6:

а) диаграмма полюсов и нулей; б)

Однако общепринятым является термин «минимальная фаза».

В случае последовательности конечной длины имеет место ситуация, при которой все нули находятся вне единичного круга. Ясно, что если все нулн отражаются в область вне единичного круга, то такая система имеет максимально возможное фазовое запаздывание и поэтому такие системы последовательности) называются максимально-фазовыми. Можно показать, что максимально-фазовая система имеет передаточную функцию

Отсюда следует, что

Отметим, что в предыдущем примере максимально-фазовая система получится, если умножить определяемое выражением (7.29), на определяемое (7.28).

Последнее свойство минимально-фазовых последовательностей вытекает из сравнения импульсной характеристики минимальнофазовой системы рис. 7.5 а с импульсной характеристикой линейно-фазовой системы рис. 7.6 а. Отметим, что полная энергия обеих последовательностей одинакова, так как модуль их преобразования Фурье одинаков (по теореме Парсеваля). Однако представляется, что энергия сконцентрирована около

точки тогда как энергия сконцентрирована около точки Это свойство можно формализовать, рассматривая часть энергии, даваемую первыми выборками последовательности, т. е.

Эта величина изображена на рис. 7.8 для предыдущего примера. Мы видим, что

Можно показать, что (7.33) выполняется в общем случае для всех последовательностей, имеющих один и тот же модуль преобразования Фурье. Можно трактовать (7.33) следующим образом: из всех последовательностей, имеющих один и тот же модуль преобразования Фурье, имеет наименьшую задержку. Поэтому минимально-фазовые последовательности иногда называются минимально-задержанными последовательностями.

Аналогично, максимально-фазовые последовательности называются максимально-задержанными последовательностями [12, 13].

Рис. 7.8. Концентрация энергии для двух импульсных характеристик, имеющих преобразования Фурье с одинаковыми модулями