7.4.1. СИНТЕЗ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ

Из (7.48) видно, что -преобразование от сходится только на единичной окружности. Действительно, из-за наличия разрыва в мнимой части ряд сходится к (7.46) только в среднеквадратическом. Поэтому идеальный гильбертов преобразователь или фазовращатель на 90°, как и идеальный фильтр нижних частот, а также идеальный полосовой дифференциатор, является теоретическим понятием, соответствующим физически нереализуемой системе, у которой передаточная функция существует только в ограниченном смысле.

Конечно, можно получить аппроксимации идеального гильбертова преобразователя. В случае аппроксимаций конечной длительности может быть применена стандартная техника взвешивания, частотной выборки и аппроксимации с равными пульсациями идеальной характеристики (7.46).

На рис. 7.11 а показан пример гильбертова преобразователя, синтезированного посредством взвешивания выражения (7.48)

функцией окна Блэкмена при N=27 (см. гл. 5). Амплитудно-частотная характеристика показана для Фаза равна —90° при при Вдобавок имеется линейный фазовый сдвиг, соответствующий задержке на 13 выборок.

Рис. 7.11. КИХ-аппроксимация гильбертова преобразователя: а) с использованием окна Блэкмена; б) аппроксимация с равными амплитудными пульсациями [17]. В обоих случаях фазовые ошибки отсутствуют

На рис. 7.11 б показана аппроксимация с равными пульсациями для Этот фильтр был синтезирован так, чтобы пульсации были одинаковыми в диапазоне . Фазовая характеристика такая же, как и в предыдущем примере. Этот синтез был произведен по таблицам, приведенным в [17] (см. также [18]).

Для систем, которые допускают рекурсивную реализацию, можно воспользоваться результатами работ по синтезу аналоговых фазорасщепителен. Эти аналоговые системы имеют вид пары всепропускающнх фильтров, фазовые характеристики которых отличаются друг от друга постоянным фазовым сдвигом на 903. Используя метод билинейного преобразования, можно получить соответствующую пару дискретных всепропускающнх систем с теми же свойствами. Системы, аналогичные изображенным на рис. 7.12, не дают на выходе преобразования Гильберта входного сигнала, но их два выходных сигнала связаны между собой преобразованием Гильберта. Поэтому если обозначить через входной сигнал, а через — его преобразование Гильберта, то последовательность имеет -преобразование, равное нулю в нижней половине единичной окружности, а в верхней половине отличается от преобразования сигнала только по фазе, но не по амплитуде. Пример рекурсивной реализации такой системы приведен в работе [8].

Рис. 7.12. Представление -градусной фазорасщепляющей системы