Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 10.4. ГОМОМОРФНЫЕ СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО СВЕРТКИИмеется множество задач обработки сигналов, в которых сигналы объединяются с помощью свертки. В технике связи или звукозаписи вносимые искажения можно представить как результат свертки шума с требуемым сигналом. При обработке речевых сигналов часто желательно разделить эффекты, вызванные импульсной характеристикой речевого тракта и возбуждением. По крайней мере, на коротких интервалах времени можно считать, что сигнал возбуждения и импульсная характеристика свертываются в процессе формирования сигналов речи. Другими примерами являются разделение функций плотности вероятности, которые свертываются при сложении независимых случайных процессов, или обработка сейсмических сигналов, когда импульс сейсмической энергии, создаваемый взрывом, распространяется в земле. Обычно разделение компонент таких сигналов, которые будем называть разверткой, осуществляется методом инверсной фильтрации. К сожалению, поскольку линейные системы не согласованы со структурой свертки, для инверсной фильтрации требуется подробная информация об одной из компонент сигнала. Поэтому необходимо обращаться к классу гомоморфных систем, которые подчиняются обобщенному принципу суперпозиции относительно свертки [4, 7, 8]. 10.4.1. КАНОНИЧЕСКАЯ СИСТЕМАРассмотрим последовательности, объединенные посредством дискретной свертки, т. е.
Легко показать, что дискретная свертка удовлетворяет аксиомам векторного сложения и поэтому может служить основной операцией для класса гомоморфных систем. Умножение на целое число а соответствует повторной свертке
Рис. 10.7. Канонический вид гомоморфных фильтров со сверткой в качестве входной и выходной операций Каноническая форма гомоморфных фильтров для свертки изображена на рис. 10.7. Характеристическая система
Система 10.4.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ DОсновой математического представления характеристической системы является тот факт, что
т. е. операция
Рис. 10.8. Используя Таким образом, если представить сигналы их
Рис. 10.9. Система, изображенная на рис. 10.7, после представления сигналов их является комплексной, то придется использовать комплексную логарифмическую функцию. Если сигналы представляются последовательностями, а не их Представление характеристической системы
Рис. 10.10. Представление характеристической системы Во-вторых, Если окружности. Однако непрерывность Проблема однозначности и аналитичности комплексного логарифма иллюстрируется рис. 10.11. На рис. 10.11а дана типичная зависимость фазы
Рис. 10.11. Типичная фазовая кривая для значений Если Однако нетрудно видеть, что кривая, представляющая главное значение, не соответствует сумме главных значений фаз сомножителей и, кроме того, Один подход к проблеме комплексного логарифма использует понятие римаиовой поверхности. Другой предполагает получение
На единичной окружности получим следующее выражение для этой логарифмической производной:
При интегрировании (10.29) по со поставим условие Комплексный логарифм рассматривался так подробно по двум причинам. Во-первых, это необходимо для того, чтобы при проведении дальнейших формальных преобразований быть уверенными в их справедливости. Во-вторых, проблемы, связанные с неоднозначностью комплексного логарифма, являются также важными вычислительными проблемами. (Эти проблемы будут рассмотрены в параграфе, посвященном реализации гомоморфных относительно свертки систем.) Математическое представление схемы, изображенной на рис. 10.12, можно получить, если учесть что теория § 10.2 может быть применена к Предполагая, что
где штрих обозначает производную по
так что
где С обозначает замкнутый контур в области сходимости
Значение
Так как
Исходя из (10.31), можно также получить разностное уравнение, представляющее систему D. Из (10.31) имеем
Производя деление на
Таким образом, мы получили неявное соотношение между 10.4.3. ОБРАТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ СИСТЕМАМатематическое представление обратной характеристической «системы непосредственно следует из представления
Рис. 10.12. Представление системы Следовательно, из предположения устойчивости
где С — единичная окружность, а 10.4.4. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА LПосле того как было дано математическое представление характеристической системы зрения является определенный класс линейных систем. Вспомним, что в случае мультипликативных систем были успешно применены линейные инвариантные к сдвигу системы. Вспомним также, что в соответствии с рис. 10.11, если сигналы представляются своими
Для таких систем преобразование Фурье выходного сигнала получается из комплексного логарифма
где Возникает естественный вопрос: почему этот частный класс линейных систем наиболее полезен. Ответ на этот вопрос и на вопрос о критерии синтеза таких систем может быть получен только после рассмотрения свойств 10.4.5. ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ ТЕРМИНОЛОГИИНиже дается короткая историческая справка, объясняющая применяемую терминологию. В 1962 г. Богерт, Хили и Тьюки опубликовали статью с необычным названием [9]. В этой статье они заметили, что логарифм спектра мощности колебания, содержащего отраженный сигнал, имеет аддитивную периодическую компоненту, созданную этим сигналом, и поэтому преобразование Фурье от логарифма спектра мощности имеет пик на месте, соответствующем задержке отраженного сигнала. Эту функцию они назвали? кепстром, изменяя слово спектр потому, что «в общем случае мы действуем в частотной области так, как принято действовать во временной, и наоборот» [9]. Богерт и другие создали целый словарь терминов для этого нового способа обработки сигналов; однако только термин «кепстр» получил широкое распространение. Так как спектр мощности является преобразованием Фурье от автоковариадионной функции и всегда положителен, то кепстр можно рассматривать как выходной сигнал характеристической системы
|
1 |
Оглавление
|