10.4. ГОМОМОРФНЫЕ СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО СВЕРТКИ

Имеется множество задач обработки сигналов, в которых сигналы объединяются с помощью свертки. В технике связи или звукозаписи вносимые искажения можно представить как результат свертки шума с требуемым сигналом. При обработке речевых сигналов часто желательно разделить эффекты, вызванные импульсной характеристикой речевого тракта и возбуждением. По крайней мере, на коротких интервалах времени можно считать, что сигнал возбуждения и импульсная характеристика свертываются в процессе формирования сигналов речи. Другими примерами являются разделение функций плотности вероятности, которые свертываются при сложении независимых случайных процессов, или обработка сейсмических сигналов, когда импульс сейсмической энергии, создаваемый взрывом, распространяется в земле.

Обычно разделение компонент таких сигналов, которые будем называть разверткой, осуществляется методом инверсной фильтрации. К сожалению, поскольку линейные системы не согласованы со структурой свертки, для инверсной фильтрации требуется подробная информация об одной из компонент сигнала. Поэтому необходимо обращаться к классу гомоморфных систем, которые подчиняются обобщенному принципу суперпозиции относительно свертки [4, 7, 8].

10.4.1. КАНОНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

Рассмотрим последовательности, объединенные посредством дискретной свертки, т. е.

Легко показать, что дискретная свертка удовлетворяет аксиомам векторного сложения и поэтому может служить основной операцией для класса гомоморфных систем. Умножение на целое число

а соответствует повторной свертке с собой а раз, умножение на скаляр при нецелом а является обобщением этой операции, рассмотренным в [1,8].

Рис. 10.7. Канонический вид гомоморфных фильтров со сверткой в качестве входной и выходной операций

Каноническая форма гомоморфных фильтров для свертки изображена на рис. 10.7. Характеристическая система обладает свойством

Система является линейной, — обратной по отношению к системе Таким образом, если определить систему то получим представление всех систем, подчиняющихся обобщенному принципу суперпозиции для свертки. Ниже и в § 10.5 и 10.6 подробно исследуем систему и свойства сигналов а затем в § 10.7 используем эти свойства для нескольких примеров приложения гомоморфной развертки.

10.4.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ D

Основой математического представления характеристической системы является тот факт, что -преобразование выражения (10.25) имеет вид

т. е. операция -преобразования может рассматриваться как гомоморфное преобразование, у которого входной операцией является свертка, а выходной — умножение (рис. 10.8).

Рис. 10.8. -преобразование как гомоморфное преобразование от свертки к умножению

Используя -преобразование, можно преобразовать свертки в произведения.

Таким образом, если представить сигналы их -преобразованиями, то каноническую систему на рис. 10.7 можно заменить системой, изображенной на рис. 10.9. Так как функция обычно

Рис. 10.9. Система, изображенная на рис. 10.7, после представления сигналов их -преобразованиями

является комплексной, то придется использовать комплексную логарифмическую функцию.

Если сигналы представляются последовательностями, а не их -преобразованиями, то формально можно представить характеристическую систему Так, как показано на рис. 10.10, где — обратное -преобразование. Интересно отметить, что и являются в одно и то же время и линейными преобразованиями в обычном смысле и гомоморфными преобразованиями между векторными пространствами со сверткой и умножением в качестве основных операций.

Представление характеристической системы (рис. 10.10) основано, хотя и неявно, на ряде важных допущений. Во-первых, комплексный логарифм должен быть определен однозначно, т. е. если

Рис. 10.10. Представление характеристической системы

Во-вторых, должно представлять -преобразование. В-третьих, для того, чтобы однозначно определить нужно выбрать область сходимости для Выберем сначала область сходимости. Предположим, что действительные устойчивые последовательности. Это предположение разумно с практической точки зрения и в действительности не очень ограничительно, так как требуются только небольшие изменения для того, чтобы включить в рассмотрение случай, когда или неустойчивы. Следовательно, области сходимости должны включать единичную окружность.

Если является -преобразованием, то должно существовать разложение в ряд Лорана с областью сходимости, включающей единичную окружность. Другими словами, функция должна быть аналитической в области, включающей единичную окружность. На единичной окружности можно представить в виде Так как действительно, то представляет собой четную функцию -нечетную функцию Кроме того, функция должна быть периодической с периодом Наиболее важным следствием аналитичности на единичной окружности является непрерывность как функции от . Так как то отсюда следует, что должны быть непрерывными функциями . Если не имеет нулей на единичной окружности, то непрерывность гарантируется аналитичностью на единичной

окружности. Однако непрерывность зависит от определения комплексного логарифма. Таким образом, требование исключения неоднозначности комплексного логарифма связано с требованием того, чтобы представляло -преобразование.

Проблема однозначности и аналитичности комплексного логарифма иллюстрируется рис. 10.11. На рис. 10.11а дана типичная зависимость фазы -преобразования от частоты (на единичной окружности).

Рис. 10.11. Типичная фазовая кривая для значений -преобразования на единичной окружности и главное значение фазовой кривой (б)

Если является произведением двух -преобразований, то эта кривая представляет сумму фазовых кривых сомножителей. Рисунок 10.11б показывает главное значение фазы Обе кривые представляют фазу так как

Однако нетрудно видеть, что кривая, представляющая главное значение, не соответствует сумме главных значений фаз сомножителей и, кроме того, — разрывная функция и поэтому не удовлетворяет условию непрерывности, вытекающему из аналитичности на единичной окружности.

Один подход к проблеме комплексного логарифма использует понятие римаиовой поверхности. Другой предполагает получение комплексного логарифма путем интегрирования его производной. Если предположить, что комплексный логарифм — однозначная и дифференцируемая функция, то

На единичной окружности получим следующее выражение для этой логарифмической производной: где штрих означает дифференцирование по Отсюда

При интегрировании (10.29) по со поставим условие чтобы представлял нечетную непрерывную функцию.

Комплексный логарифм рассматривался так подробно по двум причинам. Во-первых, это необходимо для того, чтобы при проведении дальнейших формальных преобразований быть уверенными в их справедливости. Во-вторых, проблемы, связанные с неоднозначностью комплексного логарифма, являются также важными вычислительными проблемами. (Эти проблемы будут рассмотрены в параграфе, посвященном реализации гомоморфных относительно свертки систем.)

Математическое представление схемы, изображенной на рис. 10.12, можно получить, если учесть что теория § 10.2 может быть применена к -преобразованиям свертки. Из этого представления и подразумеваемой аналитичности можно вывести два других представления системы используя логарифмическую производную.

Предполагая, что — аналитическая функция, получим

где штрих обозначает производную по Легко показать, что

так что

где С обозначает замкнутый контур в области сходимости Решая относительно получим

Значение можно получить, замечая, что

Так как является нечетной функцией со, это выражение переписывается так:

Исходя из (10.31), можно также получить разностное уравнение, представляющее систему D. Из (10.31) имеем

Обратное -преобразование этого соотношения даст

Производя деление на получим

Таким образом, мы получили неявное соотношение между При определенных условиях это выражение можно преобразовать в рекуррентную формулу, которую можно применить при вычислениях. Формулы этого типа рассматриваются в § 10.5.

10.4.3. ОБРАТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

Математическое представление обратной характеристической «системы непосредственно следует из представления и иллюстрируется рис. 10.12. По определению

Рис. 10.12. Представление системы

Следовательно, из предположения устойчивости вытекает устойчивость последовательностей Поэтому область сходимости должна содержать окружность. Тогда

где С — единичная окружность, а . К счастью, комплексная экспоненциальная функция однозначна, и если аналитична на единичной окружности, то будет аналитичной и

10.4.4. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА L

После того как было дано математическое представление характеристической системы и системы, обратной ей, в канонической системе рис. 10.9 осталось только найти систему Теоретически в канонической системе рис. 10.7 можно использовать любую систему, подчиняющуюся принципу суперпозиции для сложения. Однако на, практике наиболее полезным с нашей точки

зрения является определенный класс линейных систем. Вспомним, что в случае мультипликативных систем были успешно применены линейные инвариантные к сдвигу системы. Вспомним также, что в соответствии с рис. 10.11, если сигналы представляются своими -преобразованиями, то можно рассуждать о линейных системах, преобразующих комплексные логарифмы -преобразований. Другими словами, класс сверточных гомоморфных систем аналогичен классу мультипликативных гомоморфных систем; однако при этом временная и частотная области в определенном смысле поменялись ролями. Поэтому, хотя теоретически и можно использовать инвариантные во времени линейные системы, особый интерес представляет рассмотрение инвариантных по частоте линейных систем, для которых

Для таких систем преобразование Фурье выходного сигнала получается из комплексного логарифма периодической непрерывной сверткой. С другой стороны, во временной области такая система представляется соотношением

где — обратное преобразование от Так как предполагаются действительными и устойчивыми последовательностями, то и должна быть действительной и в общем случае устойчивой последовательностью. Отсюда следует, что область сходимости -преобразования последовательности должна содержать единичную окружность и что действительная и мнимая части должны быть соответственно четной и нечетной функциями со.

Возникает естественный вопрос: почему этот частный класс линейных систем наиболее полезен. Ответ на этот вопрос и на вопрос о критерии синтеза таких систем может быть получен только после рассмотрения свойств или (см. § 10.5).

10.4.5. ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ ТЕРМИНОЛОГИИ

Ниже дается короткая историческая справка, объясняющая применяемую терминологию. В 1962 г. Богерт, Хили и Тьюки опубликовали статью с необычным названием [9]. В этой статье они заметили, что логарифм спектра мощности колебания, содержащего отраженный сигнал, имеет аддитивную периодическую компоненту, созданную этим сигналом, и поэтому преобразование Фурье от логарифма спектра мощности имеет пик на месте, соответствующем задержке отраженного сигнала. Эту функцию они назвали? кепстром, изменяя слово спектр потому, что «в общем случае мы действуем в частотной области так, как принято действовать во временной, и наоборот» [9]. Богерт и другие создали целый

словарь терминов для этого нового способа обработки сигналов; однако только термин «кепстр» получил широкое распространение. Так как спектр мощности является преобразованием Фурье от автоковариадионной функции и всегда положителен, то кепстр можно рассматривать как выходной сигнал характеристической системы когда на вход подается автоковариационная функция. Так как спектр мощности всегда положителен, то для обработки потребуется только действительный логарифм. В общем случае следует использовать комплексный логарифм и комплексное преобразование Фурье. Поэтому, чтобы подчеркнуть как сходство, так и различие этих двух случаев, будем называть выходной сигнал характеристической системы комплексным кепстром. Поспешим добавить, что комплексный кепстр для действительного выходного сигнала является также действительным. Термин кепстр будем употреблять только в том случае, когда используется действительный логарифм.