4.5.5. СТРУКТУРЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ФОРМУЛАХ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПОЛИНОМОВ

Как мы отмечали, передаточная функция КИХ-системы является полиномом степени переменной где — длина, импульсной характеристики. Хорошо известно, что полином степени однозначно определяется его значениями в определенных точках. Существует множество полиномиальных интерполяционных формул, таких, как формулы Лагранжа и Ньютона, которые точно определяют полином с помощью его значений. С другой стороны, мы можем точно определить значения полинома и его первых производных при некоторой величине и создать полином на основе его представления рядами. Тейлора. Шусслер (Schuessler) [10] показал, что подобные представления передаточной функции подразумевают структуры для построения-КИХ-систем.

Структура на основе частотной выборки предыдущего раздела является примером того, где полином, представляющий образуется путем тригонометрической интерполяции между равномерно распределенными точками на единичной окружности. Обобщение структуры на основе частотной выборки, называемое структурой Лагранжа, легко выводится из (4.43). Во-первых, мы замечаем, что (4.43) можно представить в виде

где

Нетрудно показать, что (4.51) и (4.52) соответствуют полиному от степени и что этот полином дает точные значения в. точках взятия отсчетов.

Выражение (4.51) является особым случаем интерполяционной формулы Лагранжа, когда выборочные точки равномерно распределены на единичной окружности. В общем случае выборочные точки могут браться произвольно на -плоскости, тогда представляется в виде

Нетрудно проверить, что (4.53) представляет полином степени и дает точные значения в точках взятия отсчетов Поэтому это выражение является подходящим представлением передаточной функции КИХ-системы. Структура цепи, соответствующая (4.53), показана на рис. 4.29. Эта структура очень похожа на реализацию, изображенную на рис. 4.27.

Рис. 4.29. Структура Лагранжа для построения КИХ-системы

Если мы выберем точки взятия отсчетов так, чтобы образовывались комплексно-сопряженные пары, и если импульсная характеристика является действительной, то можно объединить комплексно-сопряженные члены в сумме в (4.53) в сомножители второго порядка, как в случае частотной выборки, и получить цепь, подобную показанной на рис. 4.28. Кроме того, можно перемножить либо все сомножители в полиноме либо в комплексных парах, чтобы получить прямую или каскадную форму построения нерекурсивной части структуры.

Шусслер [10] рассмотрел другие структуры КИХ-цепи, основанные на интерполяционных формулах Ньютона и Эрмита и разложении в ряды Тейлора. Все эти структуры, включая структуру на основе частотной выборки, в общем случае требуют больше умножений и задержек, чем прямая или каскадная форма. Таким образом, полезность подобных структур заключена в возможных преимуществах по чувствительности к эффектам квантования и согласованности расчетной процедуры с реализацией системы.