Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 9.5.2. АНАЛИЗ ЭФФЕКТОВ КВАНТОВАНИЯ В АЛГОРИТМАХ БПФ С ФИКСИРОВАННОЙ ЗАПЯТОЙСуществует много различных алгоритмов БПФ, и, естественно, эффекты квантования будут зависеть от конкретного вида применяемого алгоритма. Наиболее часто используются алгоритмы с основанием 2, для которых величина вычисляемого преобразования является целым числом степени 2. Приводимое ниже рассуждение в своей большей части базируется на алгоритме с основанием 2 и прореживании во времени. Однако результаты с небольшой модификацией применимы для алгоритма с прореживанием по частоте. Кроме того, большинство идей, используемых при анализе ошибок алгоритмов с основанием 2, можно применить в других алгоритмах. Рис. 9.16. (см. скан) Направленный граф для алгоритма БПФ с прореживанием по времени Алгоритмы БПФ предназначены для вычисления
Здесь индексы
Рис. 9.17. Основная операция вычисления БПФ с прореживанием по времени
Рис. 9.18. Статистическая модель для шума округления при выполнении основной операции вычисления БПФ с прореживанием по времени при фиксированной запятой Форма базовой операции в алгоритме с основанием 2 и прореживанием по частоте несколько отличается от формы базовой операции в алгоритме с прореживанием по времени; здесь базовая операция представляет
На каждом этапе выполняется используемого алгоритма БПФ. К счастью, наш анализ не связан с конкретным способом изменения Шум округления будем моделировать с помощью генератора аддитивного шума, связанного с каждой операцией умножения с фиксированной запятой. При этой модели для анализа эффектов шума округления базовая операция алгоритма рис. 9.17 заменяется базовой операцией алгоритма рис. 9.18. С помощью записи Поскольку будем предполагать, что входной величиной для БПФ является комплексная последовательность, то каждое из умножений оказывается комплексным и, таким образом, в действительности состоит из четырех действительных умножений, выполняемых точно так же, как было рассмотрено в предыдущем параграфе. Снова предполагается, что 1) шум округления, возникающий при каждом действительном умножении, равномерно распределен по амплитуде между 2) все источники шума, возникающие при каждом действительном умножении, некоррелированны друг с другом. Таким образом, для любого заданного комплексного умножения четыре составляющие шума некоррелированны друг с другом. Кроме того, они некоррелированны с составляющими шума от других комплексных умножений; 3) все источники шума некоррелированны с входным сигналом и, следовательно, с результатами вычисления в каждом массиве. Поскольку каждая из этих четырех последовательностей является некоррелированным белым шумом с нулевым средним значением и все они имеют одинаковую дисперсию, то, как и в (9.80), имеем
Эта дисперсия будет обозначена через 1) в направленном графе функция передачи от одного узла к любому другому, соединенному с ним, сводится к умножению на комплексную константу единичной величины (так как передача каждой ветви равна либо единице, либо целому числу степени 2) в направленном графе каждый выходной узел соединяется с
Рис. 9.19. Базовые операции, влияющие на формирование: а) Указанные выше замечания можно обобщить на случай Как следствие первого замечания, среднеквадратическое значение уровня составляющей выходного шума, обусловленной каждым из элементарных источников шума, является одинаковым и равным
которую для больших
В соответствии с этим результатом среднеквадратическое значение выходного шума пропорционально При выполнении алгоритма БПФ арифметическим устройством с фиксированной запятой должна быть полная уверенность в отсутствии переполнения. Из (9.83) следует, что
а также то, что
В (9.88) подразумевается, что максимальные значения модулей являются неубывающими от этапа к этапу; когда величина выходного сигнала БПФ становится меньше единицы, то величина точек в каждом массиве должна быть меньше единицы Чтобы выразить это ограничение в качестве граничного условия для входной последовательности, из предыдущего параграфа напомним, что условие
является как необходимым, так и достаточным для гарантии Чтобы получить точное выражение для отношения шум/спгпал на выходе алгоритма БПФ с учетом необходимого масштабирования, рассмотрим входной сигнал, в котором последовательные величины последовательности некоррелированны, т. е. входной сигнал в виде белого шума. Предполагается также, что действительная и мнимая части входной последовательности некоррелированны и что каждая из них имеет равномерную плотность амплитуд на интервале между
Дискретное преобразование Фурье входной последовательности равно
Объединив (9.87) и (9.92), получим
Таким образом, в соответствии с результатом (9.93) выходное отношение шум/сигнал пропорционально Выражение (9.89) допускает другую процедуру масштабирования. Поскольку максимальные значения модулей увеличиваются от этапа к этапу не более чем в 2 раза, то переполнения можно избежать, потребовав, чтобы
Рис. 9.20. Базовая операция с использованием масштабирующих умножителей и сопутствующим шумом округления при фиксированной запятой где с каждой базовой операцией теперь связаны два источника шума. Как и ранее, предполагается, что действительная и мнимая части этих источников шума некоррелированы между собой, а также с другими источниками шума и что действительные и мнимые части равномерно распределены на интервале между
Так как все источники шума некоррелированные, среднеквадратическое значение уровня выходного шума в каждом узле по-прежнему равно сумме составляющих каждого источника шума в направленном графе. Однако в противоположность предыдущему случаю ослабление шума каждого источника при прохождении через направленный граф зависит от массива, в котором он возник. Шумы источника, возникающие в В общем случае при
При больших
и, таким образом, много меньше результирующей дисперсии шума, когда для всех входных данных применяется масштабирование. Теперь можно объединить (9.95) с (9.92) для получения отношения шум/сигнал в случае поэтапного масштабирования и белого шума на входе. Получим
где результат пропорционален подчеркнуть несущественность предположения о том, что сигнал является белым шумом. Основной результат об увеличении на половину разряда длины регистра на каждый этап вычисления справедлив для широкого класса сигналов, при этом только множитель на константу в (9.96) будет зависеть от свойств сигнала. Необходимо также отметить, что множитель числителя, обусловливающий увеличение отношения шум/сигнал с увеличением В проводимом ранее обсуждении предполагался прямой порядок вычисления с фиксированной запятой, т. е. были возможны только предварительно установленные ослабления и не допускалось изменение масштабирования путем проверки на переполнение. Очевидно, что если возможности аппаратурного или программного выполнения таковы, что должен использоваться прямой метод вычисления с фиксированной запятой, то следует, по возможности, вводить аттенюаторы с ослаблением на 1/2 в каждый массив, а не использовать большое ослабление во входном массиве. Третий способ для устранения переполнения заключается в использовании поблочно плавающей запятой. В этой процедуре исходный массив нормируется до крайнего слева слова ЦВМ с учетом ограничения Как мы видели, можно найти входной сигнал, для которого не требуется масштабирование, а также входной сигнал, для которого требуется деление на На рис. 9.21 представлена зависимость выходного отношения шум/сигнал от
Рис. 9.21. Экспериментальные и теоретические зависимости выходного отношения шум/сигнал от Для сравнения также показана теоретическая кривая, представляющая согласно (9.96) отношение шум/сигнал при фиксированной запятой. Видно, что для этого типа входного сигнала использование поблочно плавающей запятой дает некоторые преимущества по сравнению с фиксированной запятой, особенно при больших преобразованиях. Для
|
1 |
Оглавление
|