11.5. ОЦЕНКА ВЗАИМНОЙ КОВАРИАЦИИ И ВЗАИМНОГО СПЕКТРА

Методы предыдущих разделов применимы с небольшими изменениями и к оценке взаимной ковариации и взаимного спектра двух различных случайных сигналов. Например, предположим, что -случайные сигналы с нулевым средним, так что Тогда аналогично оценке автоковариации даваемой выражением (11.19), имеем оценку взаимной ковариации (или корреляции):

Отметим, что при переходит в (11.19). Математическое ожидание (11.66) равно где истинная взаимокорреляционная последовательность. Аналогично из (11.666)

Объединяя вышеприведенные соотношения, получим

Как видно, оценка будет асимптотически несмещенной оценкой взаимной ковариации Как и в случае оценки дисперсия оценки обратно пропорциональна

Оценку взаимного спектра мощности можно получить путем преобразования Фурье последовательности

Если то, учитывая (11.24), нетрудно видеть, что (11.68), переходит в периодограмму. Отметим, что в общем случае не обладает свойствами симметрии и как правило, является комплексной функцией. Легко показать, что

Хотя из (11.69) следует, что -асимптотически несмещенная оценка взаимного спектра, как и в случае периодограммы, дисперсия не стремится к нулю при увеличении Поэтому для уменьшения дисперсии и сглаживания оценки требуется применение взвешивания с помощью функции окна или

усреднения оценок, полученных на коротких отрезках выборочной последовательности. Например, рассмотрим оценку спектра

При допущениях, аналогичных допущениям § 11.4, можно показать, что

Точно так же можно показать, что уменьшается при увеличении длины отрезка и уменьшении ширины окна. Таким образом, компромисс между ухудшением разрешающей способности и уменьшением дисперсии оценки имеет точно такой же характер, как и при оценке спектра мощности одного сигнала.

Деталям при оценке взаимной ковариации и взаимного спектра мощности и применению последних посвящено несколько глав в [5].