11.5. ОЦЕНКА ВЗАИМНОЙ КОВАРИАЦИИ И ВЗАИМНОГО СПЕКТРА
Методы предыдущих разделов применимы с небольшими изменениями и к оценке взаимной ковариации и взаимного спектра двух различных случайных сигналов. Например, предположим, что
-случайные сигналы с нулевым средним, так что
Тогда аналогично оценке автоковариации
даваемой выражением (11.19), имеем оценку взаимной ковариации (или корреляции):
Отметим, что при
переходит в (11.19). Математическое ожидание (11.66) равно
где
истинная взаимокорреляционная последовательность. Аналогично из (11.666)
Объединяя вышеприведенные соотношения, получим
Как видно, оценка
будет асимптотически несмещенной оценкой взаимной ковариации
Как и в случае оценки
дисперсия оценки обратно пропорциональна
Оценку взаимного спектра мощности можно получить путем преобразования Фурье последовательности
Если
то, учитывая (11.24), нетрудно видеть, что (11.68), переходит в периодограмму. Отметим, что в общем случае
не обладает свойствами симметрии и
как правило, является комплексной функцией. Легко показать, что
Хотя из (11.69) следует, что
-асимптотически несмещенная оценка взаимного спектра, как и в случае периодограммы, дисперсия
не стремится к нулю при увеличении
Поэтому для уменьшения дисперсии и сглаживания оценки требуется применение взвешивания с помощью функции окна или
усреднения оценок, полученных на коротких отрезках выборочной последовательности. Например, рассмотрим оценку спектра
При допущениях, аналогичных допущениям § 11.4, можно показать, что
Точно так же можно показать, что
уменьшается при увеличении длины отрезка и уменьшении ширины окна. Таким образом, компромисс между ухудшением разрешающей способности и уменьшением дисперсии оценки имеет точно такой же характер, как и при оценке спектра мощности одного сигнала.
Деталям при оценке взаимной ковариации и взаимного спектра мощности и применению последних посвящено несколько глав в [5].