7.4.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УЗКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ

Многие применения аналитических сигналов связаны с узкополосными связными сигналами. В этих применениях иногда удобно представить высокочастотный сигнал через низкочастотный. Чтобы увидеть, как это можно сделать, рассмотрим комплексный низкочастотный сигнал где является преобразованием Гильберта от

Рис. 7.13. (см. скан) Преобразования Фурье для представления узкополосных сигналов (сплошные линии обозначают действительные части, а штриховые — мнимые части; на рис. б) и е) изображены функции где — преобразования Фурье от преобразований Гильберта соответственно)

Преобразования Фурье изображены на рис. 7.13а и соответственно, а результирующее преобразование показано на рис. 7.13в.

Рассмотрим последовательность

где и -действительные последовательности. Соответствующее преобразование Фурье равно

и изображено на рис. 7.13г. Преобразования Фурье и

показаны на рис. 7.135, е. Ясно, что для узкополосных сигналов является преобразованием Гильберта от Так как можно представить в виде как в (7.51), то можно записать как

Таким образом,

и

Выражения являются требуемыми представлениями узкополосных сигналов через низкочастотные. Отметим, что (7.566) и (7.576) имеют вид синусоид, модулированных как по амплитуде, так и по фазе.

Примерами использования этих соотношений являются представления узкополосных фильтров и модулированных сигналов. Другой важной областью применения аналитических сигналов является теория дискретизации высокочастотных сигналов. Известно, что если имеется аналоговый сигнал с преобразованием Фурье которое равно нулю при то для того, чтобы по выборкам можно было бы восстановить сигнал, нужно брать эти выборки со скоростью, большей выборок в секунду. Аналогично если имеется действительная последовательность преобразование Фурье которой равно нулю при то темп выборок можно уменьшить, отбрасывая часть выборок. Например, если то первоначальная частота выборок вдвое больше необходимой и каждую вторую выборку можно исключить. В более общем случае число выборок в секунду можно сократить в раз.

Теперь рассмотрим действительный узкополосный сигнал изображенный на рис. Так как сигнал — действительная функция, то преобразование Фурье должно быть, конечно, сопряженно-симметричным. При определении минимального типа выборок шириной спектра следует считать величину т. е. в этом случае, хотя реальная полоса равна темп выборок можно уменьшить только в раз. Рассмотрим, однако, аналитический сигнал с преобразованием Фурье изображенным на рис. 7.13 г. Так как равно нулю всюду, за исключением области то можно уменьшить темп выборок в раз. Это видно из того что комплексный аналитический сигнал равен

как видно из рис. 7.13 в. Этот сигнал может быть представлен выборками, следующими со скоростью, в раз меньшей первоначальной. Дальнейшее рассмотрение показывает, что в действительности нет необходимости выделять модуляцию в (7.58) перед уменьшением скорости выборок.