показаны на рис. 7.135, е. Ясно, что для узкополосных сигналов
является преобразованием Гильберта от
Так как
можно представить в виде
как в (7.51), то можно записать
как
Таким образом,
и
Выражения
являются требуемыми представлениями узкополосных сигналов через низкочастотные. Отметим, что (7.566) и (7.576) имеют вид синусоид, модулированных как по амплитуде, так и по фазе.
Примерами использования этих соотношений являются представления узкополосных фильтров и модулированных сигналов. Другой важной областью применения аналитических сигналов является теория дискретизации высокочастотных сигналов. Известно, что если имеется аналоговый сигнал с преобразованием Фурье
которое равно нулю при
то для того, чтобы по выборкам можно было бы восстановить сигнал, нужно брать эти выборки со скоростью, большей
выборок в секунду. Аналогично если имеется действительная последовательность
преобразование Фурье которой равно нулю при
то темп выборок можно уменьшить, отбрасывая часть выборок. Например, если
то первоначальная частота выборок вдвое больше необходимой и каждую вторую выборку можно исключить. В более общем случае число выборок в секунду можно сократить в
раз.
Теперь рассмотрим действительный узкополосный сигнал
изображенный на рис.
Так как сигнал — действительная функция, то преобразование Фурье должно быть, конечно, сопряженно-симметричным. При определении минимального типа выборок шириной спектра следует считать величину
т. е. в этом случае, хотя реальная полоса равна
темп выборок можно уменьшить только в
раз. Рассмотрим, однако, аналитический сигнал
с преобразованием Фурье
изображенным на рис. 7.13 г. Так как
равно нулю всюду, за исключением области
то можно уменьшить темп выборок в
раз. Это видно из того что комплексный аналитический сигнал равен
как видно из рис. 7.13 в. Этот сигнал может быть представлен выборками, следующими со скоростью, в
раз меньшей первоначальной. Дальнейшее рассмотрение показывает, что в действительности нет необходимости выделять модуляцию в (7.58) перед уменьшением скорости выборок.