5.3.2. КРИТЕРИЙ МИНИМИЗАЦИИ p-ошибки

Дечки обобщил процедуру предыдущего параграфа для ряда вариантов. Вместо минимизации среднего квадрата ошибки минимизировалось взвешенное среднее значение ошибки, возведенное в степень. Кроме того, этот метод применялся как для амплитудной характеристики, так и для групповой задержки. Поэтому выражение для минимизированной ошибки являлось дискретной аппроксимацией либо для

либо

где групповая задержка определяется как

Предполагается, что требуемый цифровой фильтр определяется выражением (5.38). Продолжая, как и в § 5.3.1, процедуру минимизации в виде (5.40) либо (5.41), приходится сталкиваться с решением нелинейных уравнений с неизвестными параметрами. Показано [17], что если в результате решения получена устойчивая аппроксимация, то для существует такой локальный минимум функции ошибок, что оптимальные параметры соответствуют устойчивой передаточной функции. Этот результат зависит от того обстоятельства, при котором как амплитудная характеристика, так и групповая задержка каждого блока второго порядка в (5.39) стремится к бесконечности по мере того, как полюсы приближаются к единичной окружности. Таким образом, функция ошибок становится неограниченной по мере того, как полюсы стремятся переместиться через единичную окружность в неустойчивую область. Это условие служит как барьер для перемещения полюсов в решении нелинейных уравнений при использовании процедуры Флетчера — Пауэла [16].

В качестве примера применения этого метода был рассчитан эллиптический цифровой фильтр нижних частот четвертого порядка. Характеристика ослабления этого фильтра показана на рис. 5.29 а, а групповая задержка — на рис. 5.296. Поскольку эллиптический фильтр имеет оптимальную амплитудную характеристику и довольно нелинейную фазовую, то отыскивался такой всепропускающий фазовый компенсатор, чтобы при его каскадном включении с эллиптическим фильтром улучшалась бы

фазовая характеристика, т. е. выравнивалась кривая групповой задержки в пределах всей полосы пропускания. С учетом ограничения на коэффициенты в (5.39) для всепропускающего фазового фильтра и использованного значения в (5.41) в результате получим кривую групповой задержки рис. 5.29 б.

Рис. 5.29. Характеристики потерь эллиптического фильтра четвертого порядка нижних частот (а) и групповая задержка этого фильтра, скорректированная с помощью четырехзвенного всепропускающего фазового компенсатора (по Дечки [17]) (б)

Видно, что кривая групповой задержки имеет характер равновеликих пульсаций в пределах всей полосы пропускания. Это объясняется тем обстоятельством, что было использовано относительно большое значение Действительно, в общем случае может быть показано, что по мере того как оптимальное решение определяется истинной аппроксимацией с равновеликими пульсациями.