8.1. ДИСКРЕТНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

Фундаментальным понятием в математическом представлении сигналов с бесконечной энергией является понятие случайного процесса. При обсуждении случайных процессов как моделей для дискретных сигналов с бесконечной энергией будем предполагать, что читатель хорошо знаком с такими фундаментальными понятиями теории вероятностей, как случайные величины, распределение вероятности и средние значения. Более глубокие сведения по теории вероятности можно найти в [1—7].

8.1.1. ПРОЦЕСС БЕРНУЛЛИ

Введем понятие случайного процесса, предположив, что последовательность чисел образуется следующим образом: в данный момент времени подбрасывается монета, и если в результате выпадает герб, то значение этой последовательности для момента времени есть , если выпадает решетка, то значение Последовательность, которая может быть получена таким способом, показана на рис. 8.1.

Рис. 8.1. Последовательность

Если предположить, что эта операция производится бесконечно долго, т. е. то получим последовательность бесконечной протяженности. Если попытаться представить эту последовательность с помощью методов предыдущих глав, то при этом встретятся две основные трудности. Во-первых, очевидно, что такая последовательность имеет бесконечную энергию и для нее не существует ни -преобразование, ни преобразование Фурье. Во-вторых, эксперименты с подбрасыванием монеты убеждают нас, что невозможно точно охарактеризовать такую последовательность, кроме как табулированием множества

выборочных значений, и поскольку предполагается, что продолжительность такого процесса бесконечна, то этот путь также неприемлем. Даже данные большого числа предыдущих выборочных значений последовательности не дают возможности определить значение последующей выборки с какой-либо уверенностью. Эта неопределенность приводит в общем случае к описанию такой последовательности с помощью вероятностей и, таким образом, к средним значениям.

Предположим, что в какой-то момент времени вероятность выпадания гербов составляет Тогда согласно фундаментальным аксиомам теории вероятностей вероятность выпадания решеток должна быть Таким образом, значение последовательности интерпретируется в качестве отдельного значения случайной величины т. е. функции результата эксперимента с подбрасыванием монеты. Характерно, что каждое значение последовательности может рассматриваться как результат предсказания некоторого числа для исхода эксперимента с подбрасыванием монеты. Так, для события «выпадает герб» приписывается значение Аналогично для события «выпадает решетка» приписывается значение —1. Поскольку полная группа возможных исходов для эксперимента с подбрасыванием монеты состоит из этих двух несовместимых событий, то случайная величина может принимать только два значения: Каждому событию мы приписываем число, которое характеризует вероятность его наступления. В данном примере вероятность выпадания гербов, т. е. вероятность того, что есть Подобным образом, поскольку вероятность выпадания решеток составляет то это является вероятностью того, что

Множество случайных величин для вместе с вероятностным описанием каждой случайной величины определяет случайный процесс. Данная последовательность значений при является реализацией случайного процесса и называется выборочной последовательностью случайного процесса. Количество возможных выборочных последовательностей, которое может быть получено в процессе эксперимента, оказывается бесконечным. Совокупность всех таких последовательностей, которые могут быть получены в качестве реализаций случайного процесса, называется ансамблем выборочных последовательностей (или ансамблем реализаций). Несколько возможных последовательностей выборок, относящихся к рассматриваемому примеру, показано на рис. 8.2. Действительно, если не равно 0 или -1-1, то любая последовательность является представителем ансамбля процесса Бернулли.

При использовании модели случайного процесса в практических приложениях обработки сигналов мы рассматриваем отдельную последовательность в качестве одной из ансамбля выборочных последовательностей, соответствующих случайному процессу. Это составляет основу для представления сигналов с бесконечной энергией в качестве случайного процесса. Получив одну из реализаций из ансамбля дискретных сигналов, мы обычно не знаем его структуру, т. е. закон распределения вероятности, но должны его найти. Можно сделать приемлемые предположения о структуре такого процесса или оценить его свойства на основе конечного отрезка типовой выборочной последовательности. Например, представляется правдоподобным, что мы могли бы вывести основной закон распределения вероятности для нашего случая путем наблюдения достаточно длительного отрезка одной из последовательностей рис. 8.2. Условия, при которых это может быть сделано, рассмотрены в § 8.2.2.

Рис. 8.2. Несколько последовательностей из ансамбля последовательностей, соответствующих процессу Бернулли

В любом случае для того, чтобы продолжить дальнейшее обсуждение моделей случайных дискретных сигналов, необходимо более подробно рассмотреть математическое описание случайного процесса.