11.2. ОЦЕНКИ АВТОКОВАРИАЦИИ

Понятия, введенные в предыдущем параграфе, можно применить при изучении оценок автоковариационной последовательности случайного процесса. Снова предположим, что стационарный случайный процесс и среднее равно нулю, т. е. для всех Тогда автоковариационная последовательность имеет вид

и равна также автокорреляционной последовательности Поэтому впредь будем говорить об оценках автокорреляционной последовательности, сознавая, что автокорреляция и автоковариация совпадают при нулевом среднем процесса. Предположим далее, что

для всех выборочных последовательностей. Выражение (11.16) можно записать также в виде где Следовательно, оценку автоковариации процесса с нулевым средним можно понимать как оценку среднего значения процесса При последовательных значениях имеется последовательных выборок по которым оценивается среднее значение Применяя выборочное среднее, рассмотренное в предыдущем параграфе, получим оценку автокорреляционной последовательности

где Если последовательность гауссова, то (11.17) является оценкой максимального правдоподобия автокорреляционной последовательности. В общем случае формальная процедура для определения оценки максимального правдоподобия приводит к системе уравнений, которая не поддается решению, даже если известно вероятностное распределение Однако, даже если (11.17) не будет формально оптимальной оценкой, тем не менее это выражение дает приемлемую оценку автокорреляционной последовательности. Легко видеть, что является несмещенной оценкой так как Дисперсия может быть найдена так, как это сделано в § 11.1, однако это связано с утомительными математическими преобразованиями, которые здесь опускаются. Приближенное выражение для дисперсии [5] имеет вид

Это выражение справедливо при много большем, чем но в общем случае пропорционально как и в (11.18). Так как смещение равно нулю и

то является состоятельной оценкой

Другой оценкой автокорреляционной последовательности является

Эта оценка отличается от в (11.17) только сомножителем перед суммой. Сравнение (11.17) и (11.19) дает

Так как математическое ожидание равно то математическое ожидание равно

Следовательно, является смещенной оценкой автокорреляционной последовательности, хотя асимптотически она не смещена. В частности, смещение оценки равно

Из (11.20) следует, что дисперсия равна дисперсии с коэффициентом и поэтому при больших по сравнению с значениях

При приближении к дисперсия оценки становится очень большой. Это следует из того, что оценка основана на вычислении выборочного среднего последовательности Если такого же порядка, что и то имеется только небольшое число точек для вычисления выборочного среднего По этой причине при приближении к длине выборки дисперсия оценки становится очень большой и такая оценка бесполезна. С другой стороны, дисперсия смещенной оценки не будет такой большой при порядка длины выборки. Однако при приближении и смещение стремится к т. е. среднее значение оценки стремится к нулю. Так как смещение сравнимо с самой функцией, которую мы оцениваем, то эта оценка также не может считаться приемлемой при порядка

Вышеприведенные выводы были основаны на рассмотрении смещения и дисперсии при увеличении задержки когда длина выборки фиксирована. Можно зафиксировать задержку и рассмотреть смещение и дисперсию оценки при увеличении При постоянном

из (11.18) видно, что дисперсия несмещенной оценки уменьшается с увеличением Для смещенной оценки из (11.22) и (11.23) видно, что как смещение, так и дисперсия уменьшаются при увеличении Дженкинс и Ватте предположили, что во многих случаях среднеквадратическая ошибка у смещенной оценки меньше, чем у несмещенной. Будучи справедливым, это предположение обосновывало бы выбор смещенной оценки Однако обе оценки асимптотически не смещены, и поэтому в общем случае можно добиться улучшения оценки автокорреляционной последовательности за счет увеличения числа выборок.