9.3.2. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КВАНТОВАНИЯ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ЦИФРОВЫХ БИХ-ФИЛЬТРОВ С ФИКСИРОВАННОЙ ЗАПЯТОЙ

Точный анализ ошибок усечения или округления, как правило, не требуется в практических приложениях. Обычно анализ ошибок сводится к выбору количества разрядов регистра, необходимых для удовлетворения некоторым требованиям на величины сигнала и ошибок. Число разрядов регистра, конечно, может изменяться только ступенчато по одному разряду. Как будет видно, добавление одного разряда к регистру уменьшает амплитуду ошибок квантования на множитель, примерно равный одной второй. Таким образом, число разрядов регистра не влияет на неточность анализа ошибок; точность анализа в пределах 30—40% часто является достаточной. Поэтому можно использовать статистическую модель, полученную в § 9.2.

Рассмотрим простые системы первого и второго порядков при иллюстрации способа применения статистической модели для оценивания эффектов квантования в реализациях цифровых фильтров с фиксированной запятой. Из этих простых примеров можно сделать обобщения, которые окажутся полезными при рассмотрении многих компромиссных условий для достижения наиболее эффективных и экономичных реализаций цифровых фильтров.

Рассмотрим построение системы первого порядка с фиксированной запятой с использованием операции округления

произведений. На рис. 9.7 а показана система с неограниченной точностью представления переменных и коэффициентов, а на рис. 9.76 — система с ограниченной точностью, где обозначает операцию округления. На рис. 9.7 в изображена та же самая система, где эффект квантователя представляется с помощью источника аддитивного шума

Рис. 9.7. Направленные графы для БИХ-системы первого порядка: идеальная линейная система; б) нелинейная система; в) статистическая модель для шума округления при фиксированной запятой

Как следует из § 9.2, представления цепи направленными графами рис. 9.7 б, в идентичны, когда известно Сделаем следующие предположения относительно эффекта квантования произведения:

1) последовательность ошибок является последовательностью белого шума;

2) последовательность ошибок имеет равномерное распределение на каждом интервале квантования;

3) последовательность ошибок некоррелирована с входной последовательностью [Это подразумевает, является некоррелированной с выходным сигналом.]

Эти предположения идентичны тем, которые были приняты для квантования выборок аналогового сигнала, и условия для их справедливости являются во многом теми же самыми. Это значит, что такие предположения выполняются, когда входной сигнал и результирующие узловые переменные изменяются от выборки к выборке достаточно сложным образом. Они оказываются, очевидно, несправедливыми для таких входных сигналов, как единичная выборка, единичный скачок или синусоидальная последовательность.

Если длина регистра равна разрядам, то для округления — Полагая распределение ошибки по всему этому диапазону равномерным, среднее значение будет равно нулю и дисперсия Если является выходным сигналом, который образовался бы за счет при

отсутствии ошибки квантования, то действительный выходной сигнал можно представить в виде

где — ошибка в выходном сигнале из-за источника шума . Если является импульсной характеристикой системы от узла, в котором подключается источник шума до выхода то

и, поскольку полагается белым шумом,

Из рис. видно, что для этого случая импульсная характеристика на участке от источника входного шума до выхода является такой же, как и для входного сигнала. Это, конечно, неверно в общем случае. Для этого примера так что

В качестве второго примера рассмотрим фильтр второго порядка с одной комплексной парой полюсов в точке описываемый разностным уравнением При округлении произведений получается нелинейное раз ностное уравнение Поскольку имеются два умножения, то, как показано на рис. 9.8, вводятся два источника шума. Эти источники обозначены через Выходной сигнал можно снова представить в виде суммы идеального выходного сигнала и двух компонент ошибки за счет соответственно. Как и ранее, предполагается, что являются последовательностями белого шума с равномерной плотностью амплитуд между и что обе они некоррелированы с входным сигналом, а также между собой. Поскольку являются некоррелированными, то такими же являются , следовательно, При обозначающими импульсные характеристики от источников входного шума до выхода,

Рис. 9.8. Статистическая модель для шума округления в БИХ-системе второго порядка с фиксированной запятой

Заметим, что для этого примера равны и определяются выражением Можно убедиться, что

так что при

Эти два примера иллюстрируют характер анализа, который может быть использован для получения дисперсии выходного шума, обусловленного округлением в арифметическом устройстве с фиксированной запятой.

Вышеприведенные результаты легко модифицировать для случая усечения при дополнительном коде. Отметим, что амплитуда ошибки при усечении в дополнительном коде лежит в диапазоне Таким образом, если необходимо представить эффект усечения чисел в дополнительном коде в том же стиле, который использовался для округления, то следует рассмотреть источник аддитивного шума с плотностью амплитуд, равномерно распределенной между и нулем. Снова предполагается, что некоррелированна с собственными сдвинутыми значениями (белый шум) и больше не имеет нулевого среднего значения, т. е. Однако дисперсия в этом случае оказывается одинаковой с той, которая была при округлении. Поэтому при усечении в дополнительном коде дисперсия выходного шума равна соответствующей дисперсии при округлении, а выходной шум не имеет нулевого среднего значения, хотя оно легко вычисляется по (9.22а) Полученные результаты применимы для операций усечения в обратном и прямом кодах, хотя, как показано в § 9.2, при этом корреляция между сигналом и ошибкой усечения оказывается более сильной из-за того, что знак ошибки всегда противоположен полярности сигнала, к которому применяется операция усечения.

Как указано ранее, другая особенность построения цифровых фильтров, использующих арифметику с фиксированной запятой, связана с возможностью переполнения. При условии, что каждый регистр представляет дробное число с учетом знака, в каждом узле фильтра должно осуществляться ограничение с целью поддержания величины меньше единицы с тем, чтобы избежать переполнения. Предполагая, что обозначает входной сигнал фильтра, а — соответственно выходной сигнал узла и импульсную характеристику от входа до узла, можно записать Если обозначает максимум абсолютной величины входного сигнала, то

Таким образом, поскольку требуется, чтобы то Для выполнения условия (9.25) необходимо, чтобы

для всех узлов цепи. Выражение (9.26), таким образом, определяет верхнюю границу максимальной величины входного сигнала, гарантирующей, что в узле не произойдет переполнения. Масштабирование входного сигнала в соответствии с (9.26) необходимо в более общем случае для гарантии того, что не произойдет переполнения. Это является следствием того факта, что в (9.25) может быть достигнуто равенство в случае последовательности для которой при для для Условие в выражении (9.26) может быть удовлетворено путем ослабления сигнала на входе фильтра.

В качестве примера рассмотрим входной сигнал представляющий собой последовательность белого шума с равномерной плотностью амплитуд. Затем выберем для фильтра первого порядка максимальную амплитуду входного сигнала, примерно равную Для этого случая, если обозначает дисперсию входного сигнала, а — дисперсию выходного сигнала, то

Тогда для этого примера можно вычислить выходное отношение шум/сигнал как отношение которое в результате получается равным

Подобным способом можно получить отношение шум/сигнал для рассмотренного ранее фильтра второго порядка. Как и в случае фильтра первого порядка, ограничим амплитуду входного сигнала для гарантии того, что динамический диапазон регистров не будет превышен. Если рассматриваемая входная последовательность будет белым шумом с равномерным распределением, то результирующее отношение шум/сигнал будет равно

Хотя трудно оценить это выражение точно, для него можно найти верхнюю и нижнюю границы. Поскольку является наибольшим выходным значением, получаемым при входном

сигнале, который никогда не превышает единицу, то оно должно быть больше отклика фильтра второго порядка на воздействие синусоиды единичной амплитуды при резонансной частоте. С учетом этого соображения

где правая часть этого неравенства есть коэффициент усиления при резонансе Кроме того,

Поэтому для фильтра второго порядка

Частотно-избирательные фильтры с крутыми срезами часто должны иметь полюсы, очень близко расположенные к единичной окружности. Поскольку каскадная или параллельная форма построения таких фильтров требует применения систем первого и второго порядков, то важно рассмотреть вышеприведенные выражения для отношения шум/сигнал при приближении полюсов к единичной окружности.

Для фильтра первого порядка предположим, что тогда при полюс приближается к единичной окружности. Тогда с учетом вида отношение шум/сигнал для фильтра первого порядка будет равно

Для фильтра второго порядка предположим так, что при полюсы также приближаются к единичной окружности. Тогда, если предполагалось, что то может аппроксимироваться выражением

которое в случае будет аппроксимироваться как Следовательно, объединив эту аппроксимацию, получим

Для вышеприведенных примеров видно, что отношение шум/сигнал можно считать пропорциональным Из этой зависимости следует, что если уменьшается в 2 раза, то для сохранения того же отношения шум/сигнал должно быть увеличено на единицу, т. е. к длине регистра должен быть добавлен один разряд.

В вышеприведенном анализе входное воздействие фильтра предполагалось в виде белого шума с равномерным распределением. По мере того как приближается: к нулю, частотная характеристика фильтров первого и второго порядков становится более избирательной так, что все больше и больше энергии входного сигнала оказывается за пределами полосы пропускания. В случае синусоидального входного сигнала используется другой подход для определения отношения шум/сигнал. При таком выборе входных сигналов, конечно, не следует пользоваться общим условием (9.26) для исключения переполнения, поскольку можно точно определить максимально допустимую амплитуду входного сигнала как функцию параметров фильтра.

В частности, если входной сигнал имеет вид то выходной сигнал в установившемся режиме равен Чтобы предотвратить переполнение, В должно быть меньше единицы, а чтобы максимизировать энергию выходного сигнала, оно выбирается максимально возможным. Таким образом, максимальное отношение шум/сигнал получается, когда А выбирается так, что . Чтобы выбрать А таким способом, должна быть известна частота входного сигнала. Для входного синусоидального сигнала с известной частотой А должно выбираться так, чтобы переполнение не происходило даже в наихудшем случае, т. е. когда частота входного сигнала совпадает с максимальным значением усиления передаточной функции фильтра [13].

Для фильтров с фиксированной запятой и справедливости используемой модели ошибки шумов округления выходной шум не зависит от частоты и амплитуды входного сигнала. Таким образом, для такого выбора входных сигналов отношение шум/сигнал, получаемое для фильтра первого порядка, равно

Если, как и ранее, предположить, что то для

В этом случае отношение шум/сигнал пропорционально 1/6, а не 1/62. При этом, если 6 умножается на 1/4 и длина регистра увеличивается на один разряд, то отношение шум/сигнал останется постоянным.

Аналогичным образом можно рассмотреть фильтр второго порядка. Для синусоидального входного сигнала выходной сигнал максимальной амплитуде имеет форму и отношение шум/сигнал в этом случае равно

Выбирая , при

Как и в случае фильтра первого порядка, отношение шум/сигнал пропорционально 1/6, а не 1/62. Сравнение отношения шум/сигнал для входного воздействия в виде белого шума и синусоидального входного сигнала служит для иллюстрации зависимости эффекта ограничения динамического диапазона от конкретного вида входного сигнала. В некотором смысле эти два рассмотренных примера представляют собой крайние случаи. По мере того как входной сигнал становится более сконцентрированным в известном узком диапазоне частот, вышеприведенный анализ с использованием синусоидального входного сигнала становится более уместным, а по мере того, как входной сигнал становится более широкополосным, оказывается более целесообразным метод анализа с входным воздействием в виде белого шума.

В вышеприведенном обсуждении отношение шум/сигнал для входного воздействия в виде белого шума было получено в предположении, что амплитуда входного сигнала была достаточно мала для предотвращения переполнения в наиболее общем случае. На практике масштабирование входного сигнала на основе (9.26) маловероятно, поскольку равенство в (9.25) практически невыполнимо. Обычно допустимо, чтобы амплитуда была несколько большей, чем это определено (9.26), и если результат сложения приводит к переполнению, то производится фиксация максимальной величины выходного сигнала тем же способом, который предлагался для фиксации входных выборок в § 9.2. Вышесказанное обычно относится к насыщению арифметического устройства. Насыщение фильтра, конечно, приводит к искажению, и выбор масштабирования входного сигнала будет зависеть от того, насколько часто такое искажение допустимо.

Приведенный выше метод анализа можно применить для исследования эффектов квантования в системах, описываемых линейными разностными уравнениями более высокого порядка. Однако трудно получить широко применимые результаты. Это обусловлено тем, что эффекты квантования в сильной степени зависят от свойств требуемой передаточной функции и конкретной структурной схемы, используемой для ее получения.

В качестве примера рассмотрим две реализации систем второго порядка, показанные на рис. 9.9. Источники шума проявляются по-разному на выходе этих систем. Поэтому эти две системы в общем случае будут иметь различные отношения шум/сигнал на выходе при одном и том же входном сигнале. Однако невозможно определить, какой вид системы является предпочтительным, пока не известны ее параметры.

Для систем более высокого порядка структура с параллельной формой построения оказывается при анализе наиболее простой. В этом случае анализ систем первого и второго порядков (включая нули) адекватен определению выходного отношения шум/сигнал, поскольку эффекты квантования полагаются независимыми между блоками. Однако даже в этом случае отношение шум/сигнал зависит от структуры блоков второго порядка.

При каскадной форме построения проблема становится более сложной, поскольку порядок попарного подбора полюсов и нулей может оказать большое влияние на общее отношение шум/сигнал потому, что шум, генерируемый отдельным блоком второго порядка, фильтруется всеми последующими блоками.

Рис. 9.9. Статистические модели для шума округления в БИХ-системах второго порядка при формировании:

а) сначала полюсов, а затем нулей; б) сначала нулей, а затем полюсов

Таким образом, возникает интересная проблема определения наилучшего попарного объединения нулей с полюсами и наилучшего упорядочения размещения результирующих блоков второго порядка для минимизации выходного отношения шум/сигнал. Эта проблема усложняется тем обстоятельством, что сигналы должны масштабироваться так, чтобы в любой точке цепи систем второго порядка не происходило переполнения. Детальный анализ эффектов квантования при каскадной и параллельной формах построения дан Джексоном [13, 14]. Из этой работы следует, что при параллельном построении существует небольшая зависимость эффектов квантования от формы реализации блоков второго порядка (см. рис. 9.9), что не соблюдается при каскадной форме. Таким образом, параллельная структура представляется предпочтительной.