10.5. СВОЙСТВА КОМПЛЕКСНОГО КЕПСТРА
Чтобы знать возможности использования гомоморфных систем, следует рассмотреть свойства комплексного кепстр а (или, что то же самое,
для полезного класса входных сигналов — экспоненциальных последовательностей.
10.5.1. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Класс экспоненциальных последовательностей является как полезным, так и удобным для анализа. Последовательности этого класса имеют рациональные
-преобразования. Рассмотрим входную последовательность
с
-преобразованием вида
где
меньше единицы, так что множители вида
соответствуют нулям и полюсам внутри единичного круга, а множители
и полюсам вне единичного круга. Такие
-преобразования характеризуют последовательности, состоящие из суммы экспоненциальных последовательностей. В частном случае, когда полюсы отсутствуют, т. е. знаменатель выражения (10.38) равен единице, это выражение соответствует последовательности конечной длины.
Если
вычислять так, как предполагалось в § 10.4, то формально можно записать
Если считать каждый член в (10.39)
-преобразованием, то свойства
будут зависеть от свойств обратных
-преобразований каждого члена.
Для действительных последовательностей А действительно, и если А положительно, то первый член
повлияет только на
. А именно
Если А отрицательно, то вклад члена
в комплексный кепстр определить труднее. Аналогично член
соответствует задержке или сдвигу вперед последовательности
При
этот член исчезает из (10.39), однако при
он влияет на комплексный кепстр. Хотя случаи, когда А отрицательно и (или)
можно учесть [8], однако это не даст преимуществ, поскольку в случае перемножения двух преобразований вида (10.38) все равно нельзя определить степень влияния этих параметров. Это аналогично ситуации, встречающейся при линейной фильтрации, когда складываются два сигнала с некоторыми постоянными уровнями. Поэтому на практике этот вопрос решается путем оценки знака А и значения
а также изменения входной последовательности таким образом, чтобы ее
-преобразование имело вид
Аналогично выражение (10.39) превращается в
За исключением члена
который уже рассматривался, все члены в (10.42) имеют вид
Помня, что эти члены должны представлять
-преобразования с областью сходимости, включающей единичную окружность, можно разложить их в степенные ряды