10.5. СВОЙСТВА КОМПЛЕКСНОГО КЕПСТРА

Чтобы знать возможности использования гомоморфных систем, следует рассмотреть свойства комплексного кепстр а (или, что то же самое, для полезного класса входных сигналов — экспоненциальных последовательностей.

10.5.1. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Класс экспоненциальных последовательностей является как полезным, так и удобным для анализа. Последовательности этого класса имеют рациональные -преобразования. Рассмотрим входную последовательность с -преобразованием вида

где меньше единицы, так что множители вида соответствуют нулям и полюсам внутри единичного круга, а множители и полюсам вне единичного круга. Такие -преобразования характеризуют последовательности, состоящие из суммы экспоненциальных последовательностей. В частном случае, когда полюсы отсутствуют, т. е. знаменатель выражения (10.38) равен единице, это выражение соответствует последовательности конечной длины.

Если вычислять так, как предполагалось в § 10.4, то формально можно записать

Если считать каждый член в (10.39) -преобразованием, то свойства будут зависеть от свойств обратных -преобразований каждого члена.

Для действительных последовательностей А действительно, и если А положительно, то первый член повлияет только на . А именно

Если А отрицательно, то вклад члена в комплексный кепстр определить труднее. Аналогично член соответствует задержке или сдвигу вперед последовательности При этот член исчезает из (10.39), однако при он влияет на комплексный кепстр. Хотя случаи, когда А отрицательно и (или) можно учесть [8], однако это не даст преимуществ, поскольку в случае перемножения двух преобразований вида (10.38) все равно нельзя определить степень влияния этих параметров. Это аналогично ситуации, встречающейся при линейной фильтрации, когда складываются два сигнала с некоторыми постоянными уровнями. Поэтому на практике этот вопрос решается путем оценки знака А и значения а также изменения входной последовательности таким образом, чтобы ее -преобразование имело вид

Аналогично выражение (10.39) превращается в

За исключением члена который уже рассматривался, все члены в (10.42) имеют вид Помня, что эти члены должны представлять -преобразования с областью сходимости, включающей единичную окружность, можно разложить их в степенные ряды

С учетом этих выражений становится ясным, что для входных сигналов с рациональными z-преобразованиями вида имеет общий вид

Заметим, что в частном случае при последовательностях конечной длины из (10.456) и (10.45в) исчезает второй член. Из (10.45) вытекают следующие свойства комплексного кепстра:

1. Комплексный кепстр убывает не медленнее а именно где С — постоянная, а а равно максимальному из чисел Это свойство следует также из (10.32).

2. Если — минимально-фазовая последовательность (т. е. если вне единичного круга нет полюсов и нулей), то

3. Если - максимально-фазовая последовательность (т. е. если внутри единичного круга нет полюсов и нулей), то

4. Если имеет конечную длительность, то тем не менее будет иметь бесконечную длительность.