4.6.2. ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ В КИХ-СИСТЕМАХ

Напомним, что в случае КИХ-систем необходимо заботиться только о положении нулей передаточной функции, поскольку в физически реализуемой КИХ-системе все полюсы находятся в точке Очевидно, что можно получить выражения, подобные выражению (4.60), для ошибок в нуле, обусловленных ошибками в значениях коэффициентов (импульсной характеристике) при прямой форме построения (§ 4.4). Суть этого та же: имеется больше возможностей управлять положением нулей при каскадной форме, чем при прямой форме построения.

Херман (Herrman) и Шусслер [14] рассмотрели эффекты квантования параметров для частного случая систем с линейной фазовой характеристикой. В случае прямых форм построения, показанных на рис. 4.24 и 4.25, очевидно, что, даже если коэффициенты определены с погрешностями, результирующая передаточная функция будет все еще полиномом Зеркального отображения и, таким образом, система все еще будет иметь линейную фазовую характеристику. Однако близко расположенные нули на единичной окружности могут сместиться с нее, в результате чего система не будет удовлетворять заданным требованиям. При каскадной форме построения, если используются блоки второго порядка вида для каждой комплексно-сопряженной пары нулей на единичной окружности, то нуль может перемещаться только по единичной окружности. Подобным же образом нули в точках могут быть реализованы точно, а действительные нули, находящиеся внутри или снаружи единичного круга, остаются действительными. Если бы комплексные нули, находящиеся вне единичного круга, были реализованы в виде блоков второго порядка, то мы бы могли найти сетку возможных положений нулей, как показано на рис. 4.32, где такая сетка распространилась бы за пределы единичного круга. Если мы желаем сохранить линейную фазовую характеристику, то мы должны для каждого нуля, находящегося внутри единичного круга, обеспечить существование взаимного комплексно-сопряженного пуля, расположенного вне единичного круга. Это можно сделать, записав выражение для множителя четвертого порядка, соответствующего нулям в точках в виде

Это соответствует части цепи, показанной на рис. 4.35. На рис. 4.36 также изображена сетка возможных положений нулей, но при пятиразрядном квантовании (32 различных значений

Рис. 4.35. Часть цепи для выполнения сомножителей четвертого порядка КИХ-системы, в которой линейная фазовая характеристика сохраняется независимо от квантования параметров

Эта реализация, очевидно, требует больше умножителей, чем для системы четвертого порядка. Если блоки четвертого порядка реализуются в прямой форме с линейной фазовой характеристикой, то мы получим цепь, представленную на рис. 4.37. Сетка

возможных положений нулей при прямой форме построения показана на рис. 4.38.

Рис. 4.36. Сетка возможных положений нулей части цепи рис. 4.35 при пятиразрядном квантовании коэффициентов

Рис. 4.37. Прямая форма, выполнения сомножителей четвертого порядка в КИХ-системе с линейной фазовой характеристикой

Несмотря на то, что при построении КИХ-фильтра с линейной фазовой характеристикой с использованием блоков четвертого порядка сохраняются линейные фазовые характеристики фильтра независимо от квантования коэффициентов, однако их результирующие характеристики оказываются чрезвычайно чувствительными к квантованию [14—16].

Рис. 4.38. Сетка возможны положений нулей части цепи рис. 4.37 при питираз-рядном квантовании коэффициентов б и с

Следовательно, часто оказывается более целесообразным выполнить КИХ-филь-тры с линейной фазовой характеристикой как каскад блоков второго порядка или же в прямой форме.

Вышеизложенное обсуждение чувствительности к квантованию параметров основывалось прежде всего на рассмотрении чувствительности положений полюсов и нулей. Анализ структур можно осуществлять также в соответствии с другими определениями чувствительности. Хотя эта область остается предметом активного исследования, некоторые полезные теоремы, относящиеся к чувствительности цепи, могут быть получены с помощью основной теории линейных сигнальных направленных графов. Ниже рассматривается теорема Теледжена для направленных сигнальных графов. Одним следствием этой теоремы является теорема

транспозиции для цифровых фильтров, упоминаемая в § 4.4. Другим следствием, как мы увидим, являются некоторые соотношения для чувствительности цифровых фильтров.