5.1.3. БИЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

В предыдущем параграфе цифровой фильтр получался на основе аппроксимации производных конечными разностями. Другая процедура основана на интегрировании дифференциального уравнения и последующей численной аппроксимации интеграла. Например, рассмотрим уравнение первого порядка

где — первая производная от . Соответствующая аналоговая передаточная функция имеет вид Запишем в виде интеграла от . В частности, если то

Если интеграл аппроксимируется формулой трапеции [5], то можно записать

Однако из Подставим полученное в (5.20) :

где Нахождение -преобразования и его решение для дает

Отсюда очевидно, что получается из с помощью замены

т. е.

Можно показать, что это справедливо и в общем случае, так как дифференциальное уравнение порядка вида (5.3) можно записать как систему уравнений первого порядка вида (5.19). Из (5.22) получим выражение для

Преобразование, использующее замену (5.22), является билинейным преобразованием Чтобы показать, что это преобразование обладает свойством, при котором мнимая ось из -плоскости отображается в единичную окружность, рассмотрим Тогда из (5.22)

Таким образом, для находящегося на единичном круге, а и со связаны соотношением которое графически показано на рис. 5.6. Из рисунка видно, что положительная и отрицательная мнимые оси из -плоскости отображаются соответственно в верхнюю и нижнюю половины единичной окружности на -плоскости.

Кроме того, что мнимая ось из -плоскости отображается в единичную окружность на z-плоскости, левая половина -плоскости отображается во внутреннюю область единичного круга, а правая половина -плоскости — во внешнюю область единичного круга, как показано на рис. 5.7.

Это можно увидеть и из (5.24). Для действительной части отрицательной величина отношения меньше единицы, что соответствует внутренней области единичного круга.

Для действительной части положительной величина этого отношения больше единицы, что соответствует внешней области единичного круга. Таким образом, мы видим, что использование билинейного преобразования приводит к устойчивым цифровым фильтрам из устойчивых аналоговых фильтров.

Рис. 5.6. Отображение оси аналоговых частот на единичную окружность при использовании билинейного преобразования

Рис. 5.7. Отображение -плоскости на -плоскость при использовании билинейного преобразования

К тому же при билинейном преобразовании отсутствует эффект наложения, встречающийся при использовании импульсной инвариантности, так как оно отображает всю мнимую ось из -плоскости в единичную окружность на z-плоскости. Однако при этом в шкалу частот вводится искажение. Следовательно, расчет цифровых фильтров на основе билинейного преобразования оказывается полезным только тогда, когда такое искажение может быть допустимо или скомпенсировано. Особый класс фильтров, для которых это справедливо, представляют фильтры, для аппроксимации которых выбрана идеальная кусочно-постоянная характеристика. Например, если необходимо рассчитать фильтр нижних частот, то отыскивается аппроксимация для идеальной характеристики нижних частот, показанной на рис. 5.8. Если можно рассчитать идеальный фильтр нижних частот в -плоскости с частотой среза то в результате отображения такого фильтра на z-плоскость с помощью билинейного преобразования получится идеальная характеристика (см. рис. 5.8). Конечно, точно реализовать идеальный фильтр этого типа ни в аналоговом, ни в цифровом случае невозможно. В общем случае мы аппроксимировали бы подобную характеристику фильтра, допуская некоторое отклонение от единицы в полосе пропускания и некоторое отклонение от нуля в полосе непропускания с переходной полосой частот ненулевой ширины. На рис. 5.9 показаны отображение аналоговой частотной характеристики в соответствующую цифровую частотную характеристику и допуски

Рис. 5.8. Частотная характеристика идеального фильтра нижних частот

для их параметров. Если критические частоты аналогового фильтра предварительно скорректированы как показано, то при преобразовании аналогового фильтра в цифровой, используя (5.23), последний будет удовлетворять заданным требованиям.

Типичными примерами частотно-избирательных аналоговых фильтров являются фильтры Баттерворта, Чебышева и эллиптические [7, 8].

Рис. 5.9. Деформация шкалы частот при преобразовании аналогового фильтра нижних частот в цифровой фильтр нижних частот

Как мы увидим в следующем параграфе, эти методы аналоговой аппроксимации имеют расчетные формулы замкнутой формы, делающие процедуру расчета довольно простой. Аналоговый фильтр Баттерворта обладает монотонной характеристикой в полосах пропускания и непропускания. Чебышевский фильтр имеет характеристику с равновеликими пульсациями в полосе пропускания и монотонную в полосе непропускания. Эллиптический фильтр имеет равновеликие пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе непропускания. Очевидно, эти свойства будут сохраняться, когда аналоговый фильтр отображается в цифровой фильтр с помощью билинейного преобразования. Это иллюстрируется пунктирными кривыми частотных характеристик на рис. 5.9.

Хотя билинейное преобразование может быть эффективно использовано для отображения кусочно-постоянной амплитудной характеристики из -плоскости на z-плоскость, деформация шкалы частот будет проявляться в искажениях фазовой характеристики фильтра. Если бы нас, например, интересовал цифровой фильтр нижних частот с линейной фазовой характеристикой, то мы не смогли бы получить такой фильтр, применив билинейное преобразование к аналоговому фильтру нижних частот с линейной фазовой характеристикой.