Важно отметить, что, хотя (6.18) содержит две суммы по 
точек, каждая из этих сумм не является 
-точечным ДПФ, так как 
каждой из сумм стоит 
а не 
Объединяя две суммы в (6.18) и используя соотношение 
получим
Рассмотрим теперь отдельно четные и нечетные 
обозначив через 
суммы соответственно четных и нечетных точек, так что
Нетрудно видеть, что (6.20) и (6.21) являются 
-точечными 
в случае (6.20) — от суммы первой и последней половины входной последовательности, а в случае (6.21) — от произведения 
на разность первой и второй половины входной последовательности. В отличие от (6.19), суммы в (6.20) и (6.21) соответствуют 
-точечным ДПФ потому, что 
Таким образом, на основании (6.20) и (6.21) с 
можно вычислить путем формирования последовательностей 
затем вычисления 
, наконец, вычислением 
-точечных ДПФ от этих двух последовательностей. Процедура, даваемая выражениями (6.20) и (6.21), иллюстрируется рис. 6.15 для случая восьмиточечного ДПФ.
Рис. 6.15. Направленный граф, иллюстрирующий разложение 
-точечного ДПФ на два 
-точечных ДПФ в алгоритмах с прореживанием по частоте 
Рис. 6.16. Направленный граф, иллюстрирующий разложение восьмиточечного ДПФ на четыре двухточечных для алгоритмов с прореживанием по частоте
Поступая так же, как и в случае вывода алгоритма с прореживанием по времени, замечаем, что так как 
является степенью 
четно, и, следовательно, 
-точечные ДПФ могут быть найдены путем вычисления по отдельности четных и нечетных выходных точек этих ДПФ. Как и в случае исходного разложения, приводящего к (6.20) и (6.21), это делается путем объединения первой и второй половины входных точек для каждого из 
-точечных ДПФ и затем вычисления 
-точечных ДПФ. Направленный граф, соответствующий этому шагу для восьмиточечного ДПФ, показан на рис. 6.16. Для восьмиточечного ДПФ вычисления теперь сводятся к вычислению двухточечных ДПФ, которые, как мы видели раньше, получаются путем сложения и вычитания входных точек. Таким образом, двухточечные ДПФ на рис. 6.16 могут быть замечены вычислениями, показанными на рис. 6.17 так, что в результате для восьмиточечного ДПФ получим граф, изображенный на рис. 6.18.
Рис. 6.17. Направленный граф двухточечного ДПФ на последней ступени разложения для алгоритмов с прореживанием по частоте
Рис. 6.18. Направленный граф при полном разложении восьмиточечного ДПФ для алгоритмов с прореживанием по частоте
Подсчитывая число арифметических операций на рис. 6.18 и обобщая на случай 
убеждаемся, что вычисления по рис. 6.18 требуют 
комплексных умножений и 
комплексных сложений. Таким образом, общее количество вычислений для алгоритмов с прореживанием по частоте и с прореживанием по времени одинаково.
. С другой стороны, можно рассмотреть такое же разложение выходной последовательности 
на уменьшающиеся подпоследовательности. Класс алгоритмов БПФ, основанный на этой процедуре, обычно называется классом алгоритмов с прореживанием по частоте. Чтобы вывести БПФ-алгоритм с прореживанием по частоте для 
являющегося степенью 2, сначала нужно разделить входную последовательность на две половины так, что
