9.5.3. АНАЛИЗ ЭФФЕКТОВ КВАНТОВАНИЯ В АЛГОРИТМАХ БПФ С ПЛАВАЮЩЕЙ ЗАПЯТОЙ

Эффекты округления в арифметическом устройстве при выполнении БПФ с плавающей запятой были теоретически и экспериментально проанализированы Джентлменом (Gentleman) и Сэндом (Sande) [24], Вайнштейном [26] и Канеко и Лиу [25]. Как и в случае анализа шумов округления в арифметическом устройстве с фиксированной запятой, шумы возникают при выполнении каждой базовой операции. Как и при рассмотрении

ошибок в цифровых фильтрах с плавающей запятой, здесь не учитываются составляющие ошибки второго порядка, так что источники шума вводятся после каждого умножения и сложения. Эти источники шума предполагаются некоррелированными с дисперсией, пропорциональной дисперсии сигнала в узле. Канеко и Лиу получили подробные формулы для обобщенной статистической модели входного сигнала. Однако если предположить, что входное воздействие не является белым шумом, то анализ и результаты оказываются довольно сложными. Поэтому, чтобы показать природу шума округления при выполнении алгоритма БПФ с плавающей запятой, будет рассмотрен случай входных сигналов в виде белого шума.

Рис. 9.22. Базовая операция в арифметическом устройстве с плавающей запятой с включением источников шума

На рис. 9.22 показана верхняя половина типовой базовой операции, содержащей действительные источники шума обусловленные четырьмя действительными умножениями и четырьмя действительными сложениями. Комплексный шум на выходе базовой операции равен . В соответствии с рассмотренными ранее моделями источников шума при плавающей запятой можно выразить в виде

Подобные выражения можно записать для Предполагается, что все источники белого шума

некоррелированны друг с другом и имеют одинаковую дисперсию, которая будет обозначена через Кроме того, поскольку входной сигнал является белым шумом с одинаковыми дисперсиями действительной и мнимой частей, то действительные и мнимые части сигналов в каждом массиве являются компонентами белого шума с одинаковыми дисперсиями. Таким образом,

Из (9.97) и (9.98) следует, что

Тогда среднеквадратические значения равны

так что среднеквадратическое значение выходного шума комплексного источника равно Таким образом, дисперсия шума, возникающего при вычислении массива, в раз больше среднеквадратического значения сигнала в массиве. Если входной (нулевой) массив является белым шумом со среднеквадратическим значением то шум, возникающий при вычислении массива, равен Как и ранее, каждый выходной узел соединяется с базовыми операциями, которые формируются в массиве, и, таким образом, с источниками шума, которые образуются в массиве. Шум от каждого из этих источников распространяется до выхода с умножением на комплексную константу единичной величины. Таким образом, среднеквадратическое значение выходного шума равно

Среднеквадратическое значение выходного сигнала равно , таким образом, выходное отношение шум/сигнал равно

Из (9.100) видно, что отношение шум/сигнал пропорционально тогда как в случае фиксированной запятой оно было пропорционально Поскольку пропорциональна то учетверение (т. е. возведение в четвертую степень) приводит в результате к увеличению отношения шум/сигнал примерно на один разряд. Таким образом, как и ожидалось, увеличение отношения

шум/сигнал как функции от в случае плавающей запятой оказывается значительно меньше, чем при фиксированной запятой.

В анализе, при выводе (9.100), не учитывался тот факт, что умножения на единицу могут быть выполнены без образования шумов. Для частного алгоритма с основанием 2, такого, как алгоритм с прореживанием во времени, показанного на рис. 9.16, эти уменьшенные дисперсии для и могут быть введены в модель сигнала для получения несколько меньшего предсказанного значения выходного отношения шум/сигнал. Однако для умеренно больших этот модифицированный анализ дает скорее лишь несколько лучшее ожидаемое значение выходного шума, чем упрощает рассмотренный ранее анализ.

Рассмотренные ранее результаты были подтверждены Вайнштейном [26] и, как показано на рис. 9.23, хорошо согласовались с теорией.

Рис. 9.23. Экспериментальные и теоретические зависимости отношения шум/сигнал от вычислении БПФ с плавающей запятой: --- теория (упрощенный анализ); - теория (модифицированный анализ); О эксперимент (округленне по случайному закону) эксперимент (неслучайное округление); аппроксимирующая кривая

Рис. 9.24. Ошибки, обусловленные квантованием коэффициентов при вычислении - теория (с фиксированной запятой); О эксперимент (с фиксированной запятой); эксперимент (с плавающей запятой)

Чтобы получить это совпадение результатов, необходимо было, однако, использовать случайную процедуру округления, т. е. производить округление случайным образом до старшего или младшего разряда, когда величина мантиссы была точно равна Показанная теоретическая кривая была получена

модифицированным методом, где учитывались уменьшенные дисперсии источников шума для Показаны также экспериментальные результаты для неслучайного округления. Эти результаты сравнивались с эмпирической кривой вида однако эта квадратичная зависимость не была подтверждена теоретически.

Настоящее обсуждение и все рассмотренные ранее эксперименты применимы в случае сигнала в виде белого шума. Некоторое экспериментальное исследование было проведено для проверки справедливости ожидаемых результатов в других случаях. А именно, на примере шума, вводимого в алгоритм вычисления БПФ для синусоидальных сигналов нескольких частот, для . Результаты, усредненные по всем использованным частотам входных сигналов, были в пределах 15% от значений, предсказываемых формулой (9.100). В этих экспериментах использовалась «случайная» процедура округления.