5.2. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ФИЛЬТРОВ НА ОСНОВЕ АНАЛОГО-ЦИФРОВОЙ ТРАНСФОРМАЦИИ

Методы предыдущего параграфа основывались на возможности использования расчетов соответствующих аналоговых фильтров [7, 8]. В этом параграфе рассматриваются примеры некоторых аналоговых методов низкочастотной аппроксимации, включая аппроксимации Баттерворта, Чебышева и эллиптическую. Рассмотрение построено следующим образом: сначала приводятся основные формулы расчета для каждого отдельного метода аппроксимации; затем при одних и тех же требованиях к фильтру нижних частот для каждого метода аппроксимации производится расчет цифрового фильтра, используя как импульсную инвариантность, так и билинейное преобразование [9].

5.2.1. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ БАТТЕРВОРТА

Фильтры Баттерворта характеризуются тем, что их амплитудная характеристика является максимально плоской в полосе пропускания. Для фильтра нижних частот порядка это означает, что первые производные квадрата амплитудной характеристики равны нулю в точке Другое свойство состоит в том, что аппроксимация является монотонной и в полосе пропускания, и в полосе непропускания. Выражение для квадрата амплитудной характеристики аналогового фильтра Баттерворта имеет вид к нулю в полосе непропускания, хотя значение амплитудной характеристики на частоте среза всегда равно из-за характера (5.25).

как показано на рис. 5.10.

С увеличением параметра в (5.25) скаты характеристики фильтра становятся круче, т. е. становятся ближе к единице для большей части полосы пропускания и более быстро приближаются

Рис. 5.10. Квадрат амплитудной характеристики аналогового фильтра Баттерворта

Рис. 5.11. Зависимость амплитудной характеристики фильтра Баттерворта от его порядка N

Зависимость амплитудной характеристики фильтра Баттерворта от параметра показана на рис. 5.11.

Из (5.25) для квадрата амплитудной характеристики следует, что должно быть равно

Тогда корни полинома знаменателя (полюсы квадрата амплитудной характеристики) равны

Таким образом, существует полюсов, равномерно распределенных по углу на единичной окружности радиуса в -плоскости. Полюсы располагаются симметрично относительно мнимой оси. Полюс никогда не попадает на мнимую ось и может находиться на действительной оси только для нечетных. Расстояние по углу между полюсами на единичной окружности составляет рад. Например, для полюсы распределены через рад или через 60°, как показано на рис. 5.12.

Рис. 5.12. Расположение полюсов в -ПЛОСКОСТИ для фильтра Баттерворта третьего порядка

Рис. 5.13. Окружность Баттерворта, полученная с помощью билинейного преобразования

Для определения передаточной функции аналогового фильтра, соответствующей квадрату амплитудной характеристики Баттерворта, необходимо разложить на множители. Мы видим, что полюсы квадрата амплитудной характеристики фильтра Баттерворта образуют пары так, что если существует полюс в точке то также образуется полюс в точке Следовательно, чтобы создать на основе квадрата амплитудной характеристики, необходимо выбрать по одному полюсу из каждой такой пары. Если ограничить фильтр условиями устойчивости и физической реализуемости, которые, как правило, требуются, то эти полюсы будут располагаться на части левой полуплоскости круга Баттерворта. Если мы получаем цифровой фильтр Баттерворта из аналогового фильтра Баттерворта путем отображения структуры полюсов из -плоскости на z-плоскость, используя билинейное преобразование, то на -плоскости квадрат соответствующей амплитудной характеристики имеет нулей в точке Тогда круг Баттерворта из -плоскости отображается в круг на z-плоскости, так как билинейное преобразование является конформным отображением. Однако центр круга Баттерворта в z-плоскости не совпадает с началом координат. Положение этого круга на z-плоскости показано на рис. 5.13.

Несмотря на то что полюсы в -плоскости были равномерно распределены по углу на окружности Баттерворта, это в

дальнейтем не выполняется для -плоскости. Действительно, пара полюсов в точках из -плоскости отображается в пару полюсов в точках на -плоскости. На рис. 5.14 показано положение полюсов квадрата амплитудной характеристики в z-плоскости для предыдущего примера при

Как правило, при расчете фильтра Баттерворта на основе билинейного преобразования наиболее простая процедура получается, когда сначала определяются положения полюсов в -плоскости и затем с помощью соответствующего преобразования полюсы левой полуплоскости отображаются на z-плоскость вместо попытки расположить полюсы непосредственно в z-плоскости.

Рис. 5.14. Расположение полюсов в -плоскости для фильтра Баттерворта третьего порядка, полученного с помощью билинейного преобразования

В качестве примера рассмотрим расчет цифрового фильтра Баттерворта нижних частот. Предположим, что нам требуется такой фильтр, у которого амплитуда в полосе пропускания постоянна в пределах 1 дБ для частот ниже и ослабление в полосе непропускания больше 15 дБ для частот между Таким образом, если амплитуда в полосе пропускания нормирована к единице при то требуется, чтобы Используя эти требования, произведем расчет цифрового фильтра из аналогового фильтра Баттерворта на основе как импульсной инвариантности, так и билинейного преобразования. Эти же самые требования будут использованы для последующих примеров других методов аппроксимации.

Расчет на основе импульсной инвариантности. При расчете цифрового фильтра на основе импульсной инвариантности аналогового фильтра Баттерворта мы, во-первых, должны преобразовать эти требования в требования, определенные с помощью аналоговой частоты. Напомним, что импульсная инвариантность соответствует линейному отображению аналоговой частоты в цифровую частоту при отсутствии эффекта наложения. При расчете цифрового фильтра на базе импульсной инвариантности удобно предположить, что эффект наложения пренебрежимо мал. После того как такой расчет выполнен, можно оценить качество полученного фильтра.

Для данного расчета, ради удобства, будем предполагать, что параметр Т равен единице. Затем найдем аналоговый фильтр Баттерворта с квадратом амплитудной характеристики для которой Поскольку фильтр Баттерворта описывается выражением

то расчет фильтра сводится по существу к определению параметров и удовлетворяющих заданным требованиям. Сначала определим эти параметры, удовлетворяющие требованиям при выполнении условий

Решение этих двух уравнений приводит к значениям Параметр однако, должен быть целым числом. Следовательно, чтобы такие требования были удовлетворены или превышены, округляем до значения ближайшего большего целого числа, так что Теперь требования как для полосы пропускания, так и для полосы непропускания не могут быть удовлетворены точно. При изменении величины существует компромисс в количественных значениях, на которые превышаются требования для полосы пропускания и полосы непропускания. Если подставим в (5.27), то получим При этом значении требования для полосы пропускания будут удовлетворены точно, а для полосы непропускания будут превышены (для аналогового фильтра). Это допускает некоторый запас для эффекта наложения в цифровом фильтре. При этом значении существуют три пары полюсов в левой полуплоскости с координатами:

Если представить в виде разложения на простые дроби и выполнить преобразование типа (5.11), то результирующая передаточная функция цифрового фильтра будет иметь вид

Как видно из этого выражения, передаточная функция, полученная на основе процедуры импульсной инвариантности, может быть реализована непосредственно в параллельной форме. Если желательна каскадная или прямая форма, то отдельные члены второго порядка должны быть скомбинированы соответствующим способом.

Частотная характеристика рассмотренной выше системы показана на рис. 5.15. Напомним, что фильтр был рассчитан так, чтобы точно удовлетворить требованиям на границе полосы пропускания и превзойти их на границе полосы непропускания, что,

действительно, и достигнуто. Это является свидетельством того, что аналоговый фильтр был достаточно ограниченным по полосе так, что имеющее место наложение несущественно. Иногда это не выполняется.

Рис. 5.15. Частотная характеристика фильтра Баттерворта шестого порядка, полученного на основе метода импульсной инвариантности

Если результирующий цифровой фильтр не удовлетворяет требованиям, то можно попытаться достичь их путем перехода к фильтру более высокого порядка или различных изменений параметров фильтра, сохраняя неизменным порядок.

Расчет на основе билинейного преобразования. Как было рассмотрено ранее, при выполнении расчета с использованием билинейного преобразования требования для цифровых частот должны быть предварительно скорректированы для соответствия аналоговым частотам так, чтобы при частотных искажениях, присущих билинейному преобразованию, критические аналоговые частоты отображались бы в правильные критические цифровые частоты. Для конкретного фильтра, который мы здесь рассматриваем, с представляющей квадрат амплитудной характеристики аналогового фильтра, мы требуем, чтобы

где мы снова для удобства полагали Т— 1. Из решения уравнений

получим

Чтобы удовлетворить заданным требованиям, должно быть выбрано равным шести. Если мы определяем путем подстановки в (5.30), то получаем При этом значении требования для полосы пропускания превышаются, а для полосы непропускания удовлетворяются точно. Это оказывается приемлемым для билинейного преобразования, так как мы при этом не должны учитывать эффект наложения. Это значит, что при соответствующей предварительной коррекции шкалы частот можно быть уверенным, что результирующий цифровой фильтр будет точно удовлетворять требованиям на границе заданной полосы непропускания.

Рис. 5.16. Расположение полюсов в -плоскости для фильтра Баттерворта шестого порядка

В -плоскости 12 полюсов квадрата амплитудной характеристики равномерно распределены по углу на окружности радиуса 0,76622, как показано на рис. 5.16. Передаточная функция в -плоскости, соответствующая полюсам левой полуплоскости, имеет вид

Тогда передаточная функция для цифрового фильтра получается на основе применения билинейного преобразования к , равном единице. В результате

Цифровые амплитудная и фазовая характеристики показаны на рис. 5.17. Мы замечаем, что при усиление уменьшается на 0,5632 дБ и при — точно на 15 дБ.

Следует также отметить, что амплитудная характеристика на рис. 5.17 спадает гораздо быстрее, чем аналогичная характеристика на рис. 5.15. Это происходит из-за того, что билинейное преобразование отображает всю ось из -плоскости на единичную окружность. Так как аналоговый фильтр Баттерворта имеет нуль

шестого порядка при то результирующий цифровой фильтр имеет нуль шестого порядка в точке

Рис. 5.17. Частотная характеристика фильтра Баттерворта шестого порядка, полученного с помощью билинейного преобразования