Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 5.2. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ФИЛЬТРОВ НА ОСНОВЕ АНАЛОГО-ЦИФРОВОЙ ТРАНСФОРМАЦИИМетоды предыдущего параграфа основывались на возможности использования расчетов соответствующих аналоговых фильтров [7, 8]. В этом параграфе рассматриваются примеры некоторых аналоговых методов низкочастотной аппроксимации, включая аппроксимации Баттерворта, Чебышева и эллиптическую. Рассмотрение построено следующим образом: сначала приводятся основные формулы расчета для каждого отдельного метода аппроксимации; затем при одних и тех же требованиях к фильтру нижних частот для каждого метода аппроксимации производится расчет цифрового фильтра, используя как импульсную инвариантность, так и билинейное преобразование [9]. 5.2.1. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ БАТТЕРВОРТАФильтры Баттерворта характеризуются тем, что их амплитудная характеристика является максимально плоской в полосе пропускания. Для фильтра нижних частот
как показано на рис. 5.10. С увеличением параметра
Рис. 5.10. Квадрат амплитудной характеристики аналогового фильтра Баттерворта
Рис. 5.11. Зависимость амплитудной характеристики фильтра Баттерворта от его порядка N Зависимость амплитудной характеристики фильтра Баттерворта от параметра Из (5.25) для квадрата амплитудной характеристики следует, что
Тогда корни полинома знаменателя (полюсы квадрата амплитудной характеристики) равны Таким образом, существует
Рис. 5.12. Расположение полюсов в
Рис. 5.13. Окружность Баттерворта, полученная с помощью билинейного преобразования Для определения передаточной функции аналогового фильтра, соответствующей квадрату амплитудной характеристики Баттерворта, необходимо разложить Несмотря на то что полюсы в дальнейтем не выполняется для Как правило, при расчете фильтра Баттерворта на основе билинейного преобразования наиболее простая процедура получается, когда сначала определяются положения полюсов в
Рис. 5.14. Расположение полюсов в В качестве примера рассмотрим расчет цифрового фильтра Баттерворта нижних частот. Предположим, что нам требуется такой фильтр, у которого амплитуда в полосе пропускания постоянна в пределах 1 дБ для частот ниже Расчет на основе импульсной инвариантности. При расчете цифрового фильтра на основе импульсной инвариантности аналогового фильтра Баттерворта мы, во-первых, должны преобразовать эти требования в требования, определенные с помощью аналоговой частоты. Напомним, что импульсная инвариантность соответствует линейному отображению аналоговой частоты в цифровую частоту при отсутствии эффекта наложения. При расчете цифрового фильтра на базе импульсной инвариантности удобно предположить, что эффект наложения пренебрежимо мал. После того как такой расчет выполнен, можно оценить качество полученного фильтра. Для данного расчета, ради удобства, будем предполагать, что параметр Т равен единице. Затем найдем аналоговый фильтр Баттерворта с квадратом амплитудной характеристики
то расчет фильтра сводится по существу к определению параметров
Решение этих двух уравнений приводит к значениям
Если представить
Как видно из этого выражения, передаточная функция, полученная на основе процедуры импульсной инвариантности, может быть реализована непосредственно в параллельной форме. Если желательна каскадная или прямая форма, то отдельные члены второго порядка должны быть скомбинированы соответствующим способом. Частотная характеристика рассмотренной выше системы показана на рис. 5.15. Напомним, что фильтр был рассчитан так, чтобы точно удовлетворить требованиям на границе полосы пропускания и превзойти их на границе полосы непропускания, что, действительно, и достигнуто. Это является свидетельством того, что аналоговый фильтр был достаточно ограниченным по полосе так, что имеющее место наложение несущественно. Иногда это не выполняется.
Рис. 5.15. Частотная характеристика фильтра Баттерворта шестого порядка, полученного на основе метода импульсной инвариантности Если результирующий цифровой фильтр не удовлетворяет требованиям, то можно попытаться достичь их путем перехода к фильтру более высокого порядка или различных изменений параметров фильтра, сохраняя неизменным порядок. Расчет на основе билинейного преобразования. Как было рассмотрено ранее, при выполнении расчета с использованием билинейного преобразования требования для цифровых частот должны быть предварительно скорректированы для соответствия аналоговым частотам так, чтобы при частотных искажениях, присущих билинейному преобразованию, критические аналоговые частоты отображались бы в правильные критические цифровые частоты. Для конкретного фильтра, который мы здесь рассматриваем, с
где мы снова для удобства полагали Т— 1. Из решения уравнений
получим
Чтобы удовлетворить заданным требованиям,
Рис. 5.16. Расположение полюсов в В
Тогда передаточная функция
Цифровые амплитудная и фазовая характеристики показаны на рис. 5.17. Мы замечаем, что при Следует также отметить, что амплитудная характеристика на рис. 5.17 спадает гораздо быстрее, чем аналогичная характеристика на рис. 5.15. Это происходит из-за того, что билинейное преобразование отображает всю ось шестого порядка при
Рис. 5.17. Частотная характеристика фильтра Баттерворта шестого порядка, полученного с помощью билинейного преобразования
|
1 |
Оглавление
|