5.3.1. МИНИМИЗАЦИЯ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОИ ОШИБКИ

Штейглиц [14, 15] предложил процедуру расчета БИХ-фильтра, основанную на минимизации среднеквадратической ошибки в частотной области. При этой процедуре необходимо, чтобы требуемая частотная характеристика была определена для дискретного ряда частот Среднеквадратическая ошибка на этих частотах определяется как

Предполагается, что передаточная функция фильтра имеет вид

Каскадная форма выбрана из-за ее сравнительно низкой чувствительности к точности коэффициентов и для удобства в расчете производных, необходимых в процедуре оптимизации.

Ошибка, определяемая (5.37), может рассматриваться как функция параметров Поскольку необходимо найти значения этих параметров, минимизирующих ошибку Е, то нужно взять частные производные от Е по каждому параметру и приравнять эти производные нулю. Таким образом, получается уравнений с неизвестными.

Уравнение для А оказывается особенно простым, поскольку

Решение этого уравнения для дает

Дифференцирование по оставшимся неизвестным параметрам, определяемым вектором приводит к нелинейным уравнениям где компонента вектора Ф. Эти уравнения можно решить с помощью методов оптимизации, используя, например, алгоритм Флетчера — Пауэла (Fletcher - Powell) [16]. Отметим, что при этой процедуре учитывается только амплитудная характеристика. Алгоритм оптимизации может в итоге дать значения параметров, соответствующих неустойчивому фильтру, т. е. полюсы и нули каждого блока второго порядка окажутся за пределами единичного круга. Кроме ограничений на расположение нулей и полюсов, Штейглиц проверял корни каждого множителя второго порядка после завершения процедуры минимизации, и, если полюс (или нуль) оказывался вне единичного круга, он заменял его на зеркальное отображение, оставляя таким образом амплитудную характеристику неизменной. Он нашел, что продолжение процедуры оптимизации иногда приводит к дальнейшему уменьшению ошибки.

Следующий пример [14] иллюстрирует применение вышеуказанной процедуры. Идеальный фильтр нижних частот точно определялся частотой среза как показано на рис. 5.27. Это значит, что

Рис. 5.27. Фиксированные значения частотной характеристики для примера использования расчетной процедуры Штейглица

Рис. 5.28. Пример частотной характеристики, полученной путем минимизации среднеквадратнческой ошибки (по Штейглицу (14])

Заметим, что здесь отсутствует требование о равномерном распределении заданных частот На рис. 5.28 показан результат процедуры оптимизации для