3.5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО ФУРЬЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ КОНЕЧНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ — ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
В предыдущем разделе мы рассмотрели представление периодических последовательностей дискретными рядами Фурье. При правильной интерпретации то же самое представление можно применить к последовательностям конечной длины. Полученное в результате представление по Фурье последовательностей конечной длительности будет называться дискретным преобразованием Фурье (ДПФ).
Результаты предыдущего параграфа дают возможность подойти к представлению по Фурье последовательностей конечной длительности двумя путями. А именно, мы можем представить последовательность конечной длины
периодической последовательностью периода
один период которой совпадает с данной последовательностью
. В этом случае исходная последовательность имеет такое же ДРФ представление, что и периодическая последовательность, поскольку можно вычислить с использованием ДРФ один период периодической последовательности, а следовательно, и последовательность конечной длины.
Другой путь вытекает из предыдущего параграфа, в котором мы показали, что последовательность конечной длины может быть точно представлена выборками из ее z-преобразования. А именно, мы показали, что периодическая последовательность, полученная посредством выборки
-преобразования в
равноотстоящих точках на единичной окружности, совпадает с коэффициентами дискретного ряда Фурье периодической последовательности,
сформированной так, как было показано выше. Последовательность, соответствующая этим выборкам z-преобразования, является такой периодически повторяющейся копией исходной последовательности) что если используется
выборок, то отсутствует эффект наложения. Таким образом, обе эти точки зрения ведут к: представлению последовательности конечной длины как одного периода периодической последовательности.
Рассмотрим последовательность
конечной длины
для которой
всюду, за исключением интервала
Ясно, что если последовательность длиной М меньше
то такую последовательность можно рассматривать как последовательность длиной
которой амплитуды в последних
точках интервала равны нулю. Соответствующая периодическая последовательность периода
одним периодом которой является
обозначается
и
Так как
имеет конечную длину
то отсутствует перекрытие между членами
для различных значений
. Поэтому (3.22а) можно записать также в другом виде
Для удобства мы будем использовать запись
вместо
по модулю
и при такой записи (3.226) примет вид
Последовательность конечной длины
получается из
выделением одного периода, т. е.
Опять-таки ради удобства записи полезно ввести обозначение прямоугольной последовательности
При такой записи предыдущее выражение имеет вид
Как было определено в § 3.1, коэффициенты
дискретного ряда Фурье периодической последовательности
сами являются периодической последовательностью с периодом
Чтобы сохранить дуальность между временной и частотной областями, сопоставим последовательности конечной длины в частотной
области, соответствующие одному периоду последовательности
Таким образом, обозначая
коэффициенты Фурье, связанные с
получим следующие соотношения между
В соответствии с § 3.1
связаны соотношениями:
Так как суммирование в (3.25а) и (3.256) распространяется только на интервал от 0 до
то из (3.23) — (3.25) следует, что
Пара преобразований, определяемая соотношениями (3.26), будет называться дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). Причем (3.26а) называется прямым, а (3.26б) - обратным дискретным преобразованием Фурье. Отметим, что в соответствии с рассуждениями, приведенными в § 3.4, ДПФ последовательности конечной длины соответствует равноудаленным выборкам из z-преобразования на единичной окружности. Нужно подчеркнуть следующее обстоятельство: различие между последовательностью конечной длины N и периодической последовательностью периода N невелико в том смысле, что обе они определяются N значениями и поэтому различия между (3.25) и (3.26) также невелики. Однако, как мы увидим ниже, всегда важно помнить, что когда речь идет о ДПФ, последовательность конечной длины представляется как один период периодической последовательности.