3.5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО ФУРЬЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ КОНЕЧНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ — ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

В предыдущем разделе мы рассмотрели представление периодических последовательностей дискретными рядами Фурье. При правильной интерпретации то же самое представление можно применить к последовательностям конечной длины. Полученное в результате представление по Фурье последовательностей конечной длительности будет называться дискретным преобразованием Фурье (ДПФ).

Результаты предыдущего параграфа дают возможность подойти к представлению по Фурье последовательностей конечной длительности двумя путями. А именно, мы можем представить последовательность конечной длины периодической последовательностью периода один период которой совпадает с данной последовательностью . В этом случае исходная последовательность имеет такое же ДРФ представление, что и периодическая последовательность, поскольку можно вычислить с использованием ДРФ один период периодической последовательности, а следовательно, и последовательность конечной длины.

Другой путь вытекает из предыдущего параграфа, в котором мы показали, что последовательность конечной длины может быть точно представлена выборками из ее z-преобразования. А именно, мы показали, что периодическая последовательность, полученная посредством выборки -преобразования в равноотстоящих точках на единичной окружности, совпадает с коэффициентами дискретного ряда Фурье периодической последовательности,

сформированной так, как было показано выше. Последовательность, соответствующая этим выборкам z-преобразования, является такой периодически повторяющейся копией исходной последовательности) что если используется выборок, то отсутствует эффект наложения. Таким образом, обе эти точки зрения ведут к: представлению последовательности конечной длины как одного периода периодической последовательности.

Рассмотрим последовательность конечной длины для которой всюду, за исключением интервала Ясно, что если последовательность длиной М меньше то такую последовательность можно рассматривать как последовательность длиной которой амплитуды в последних точках интервала равны нулю. Соответствующая периодическая последовательность периода одним периодом которой является обозначается и

Так как имеет конечную длину то отсутствует перекрытие между членами для различных значений . Поэтому (3.22а) можно записать также в другом виде

Для удобства мы будем использовать запись вместо по модулю и при такой записи (3.226) примет вид

Последовательность конечной длины получается из выделением одного периода, т. е.

Опять-таки ради удобства записи полезно ввести обозначение прямоугольной последовательности

При такой записи предыдущее выражение имеет вид

Как было определено в § 3.1, коэффициенты дискретного ряда Фурье периодической последовательности сами являются периодической последовательностью с периодом Чтобы сохранить дуальность между временной и частотной областями, сопоставим последовательности конечной длины в частотной

области, соответствующие одному периоду последовательности Таким образом, обозначая коэффициенты Фурье, связанные с получим следующие соотношения между

В соответствии с § 3.1 связаны соотношениями:

Так как суммирование в (3.25а) и (3.256) распространяется только на интервал от 0 до то из (3.23) — (3.25) следует, что

Пара преобразований, определяемая соотношениями (3.26), будет называться дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). Причем (3.26а) называется прямым, а (3.26б) - обратным дискретным преобразованием Фурье. Отметим, что в соответствии с рассуждениями, приведенными в § 3.4, ДПФ последовательности конечной длины соответствует равноудаленным выборкам из z-преобразования на единичной окружности. Нужно подчеркнуть следующее обстоятельство: различие между последовательностью конечной длины N и периодической последовательностью периода N невелико в том смысле, что обе они определяются N значениями и поэтому различия между (3.25) и (3.26) также невелики. Однако, как мы увидим ниже, всегда важно помнить, что когда речь идет о ДПФ, последовательность конечной длины представляется как один период периодической последовательности.