7.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Рассмотрим комплексные последовательности, у которых действительная и. мнимая части связаны соотношениями, похожими на преобразование Гильберта. Эти соотношения особенно полезны при представлении узкополосных сигналов в комплексном виде, причем это будет сделано точно так же, как вводится «аналитический сигнал» в теории аналоговых сигналов [6].

Как и в предыдущих рассуждениях, можно основывать вывод этих соотношений на понятии физической реализуемости. Так как нас интересует связь между действительной и мнимой частями комплексной последовательности, то понятие «физической реализуемости» будет применено к преобразованию Фурье этой последовательности. Мы не можем, конечно, требовать, чтобы преобразование Фурье было равно нулю при так как оно является периодической функцией. Однако будем считать, что «физическая реализуемость» в этом контексте означает то, что

преобразование Фурье равно нулю в нижней половине единичной окружности. Таким образом, обозначая через последовательность, а через преобразование Фурье, потребуем, чтобы

Ясно, что последовательность соответствующая должна быть комплексной, так как для того, чтобы была действительной, требуется выполнение равенства Поэтому запишем в виде

где — действительные последовательности.

В теории аналоговых сигналов похожий сигнал является аналитической функцией и поэтому называется аналитическим сигналом. Мы будем применять такую же терминологию к комплексным последовательностям, подобным Хотя аналитичность не имеет смысла для последовательностей, заметим, что любой последовательности соответствует аналоговый сигнал с ограниченным спектром, когда Поэтому, если

то тогда сигнал является аналитической функцией . В этом смысле последовательность действительно соответствует аналитическому сигналу.

Обозначая через преобразования Фурье действительных последовательностей легко показать, что

Комплексные преобразования играют роль, аналогичную той, которую играли в предыдущих разделах действительная и мнимая части физически реализуемых последовательностей. Однако отметим, что является не четной, а четно-сопряженной функцией, т. е. Аналогично является нечетно-сопряженной, т. е.

Если функция равна нулю при то ненулевые части не будут перекрываться. Поэтому может быть восстановлена по Отметим, что так как предполагается равной нулю при то может быть полностью восстановлена по Это несколько отличается от двух предыдущих ситуаций, в которых физически реализуемая функция могла быть восстановлена по нечетной части во всех точках, за исключением тех, которые расположены на краях интервала. В частности,

С другой стороны, можно связать непосредственно т. е.

Итак, пусть является преобразованием Фурье от — мнимой части -преобразование Фурье от -действительной части Согласно может быть получено из путем пропускания через дискретную систему с частотной характеристикой определяемой (7.46). Эта частотная характеристика имеет единичную амплитуду и фазовый угол, равный для для Такая система часто называется фазовращателем на 90° или преобразователем Гильберта. Из (7.45) следует, что

Поэтому может быть также получено из с помощью фазовращателя на 90°.

Импульсная характеристика фазовращателя, соответствующая частотной характеристике определяемой (7.46), имеет вид

Нормированная импульсная характеристика изображена на рис. 7.10. Используя (7.45) и (7.47), получим

Выражения (7.49) и (7.50) являются требуемыми соотношениями преобразования Гильберта между действительной и мнимой частями дискретного аналитического сигнала.

Рис. 7.10. Нормированная импульсная характеристика идеального гильбертова преобразователя или -градусиой фазосдвигающей цепи

Другим представлением является представление через амплитуду и фазу, т. е.

Последовательность амплитуд часто называется огибающей последовательности Понятие минимальной фазы, рассмотренное в § 7.2, имеет аналог в теории аналитических сигналов. Развитие этого понятия приводит к довольно сложной математике и, так как нам оно не понадобится, обсуждать его не будем [15, 16].