1.1. ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ (ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ)

В теории дискретных систем мы будем интересоваться обработкой сигналов, представляемых последовательностями.

Последовательность чисел в которой член последовательности обозначается как может быть формально записана в виде

Хотя последовательности не всегда получаются путем выборки из аналоговых колебаний, для удобства мы будем называть выборкой» последовательности. Хотя, строго говоря, обозначает член последовательности, запись (1.1) часто слишком громоздка и более удобно говорить о «последовательности Дискретные сигналы (последовательности) часто изображаются графически так, как это показано на рис. 1.1. Хотя абсцисса изображена в виде непрерывной линии, важно сознавать, что определена только для целых значений Неправильно полагать, что равна нулю для нецелых просто не определена для нецелых значений

Некоторые примеры последовательностей, играющих важную роль при дискретной обработке, показаны на рис. 1.2.

Рис. 1.1. Графическое представление дискретного сигнала

Рис. 1.2. Примеры последовательностей: а) единичный импульс; б) единичная ступенчатая последовательность; в) действительная экспоненциальная последовательность; г) синусоидальная последовательность

Единичный импульс определяется как последовательность со значениями

Как мы вскоре увидим, единичный импульс играет для дискретных сигналов и систем ту же роль, какую играет дельта-функция для аналоговых сигналов и систем. Для удобства единичный импульс часто называется просто импульсом. Важно отметить, что с единичным импульсом не связаны те математические затруднения, которые встречаются при использовании дельта-функции. Его определение просто и точно.

Единичная ступенчатая последовательность имеет значения и связана с единичным импульсом соотношением

Соответственно единичный импульс связан с единичной ступенчатой последовательностью соотношением

Действительная экспоненциальная последовательность — это последовательность со значениями вида где а — действительное число. Синусоидальная последовательность имеет вид Комплексная экспоненциальная последовательность имеет вид

Последовательность по определению называется периодической с периодом если для всех Комплексная экспонента с и синусоидальная последовательность имеют период только тогда, когда это действительное число является целым. Если не целое, но рациональное число, то синусоидальная последовательность будет периодической, однако с периодом, большим Если не рационально, то синусоидальная и комплексная экспоненциальная последовательности вовсе не будут периодическими. Параметр будет называться частотой синусоиды или комплексной экспоненты вне зависимости от того, периодичны они или нет. Частота может быть выбрана в непрерывном диапазоне значений. Однако без потери общности можно ограничить этот диапазон, полагая так как синусоидальные и комплексные экспоненциальные последовательности, получаемые при изменении в диапазоне в точности совпадают при любых с последовательностями, получаемыми при изменении в диапазоне

Иногда удобно пользоваться термином энергии последовательности. Энергия последовательности определяется как

При анализе систем обработки дискретных сигналов приходится производить ряд следующих преобразований последовательностей. Произведение и сумма двух последовательностей х и у определяются как произведение и сумма выборок соответственно: Умножение последовательности на число а определяется как

Говорят, что последовательность у является задержанной или сдвинутой последовательностью если у имеет значения где П — целое число.

Произвольная последовательность может быть представлена как сумма взвешенных и задержанных единичных импульсов. Например, последовательность изображенную на рис. 1.3, можно записать как

Рис. 1.3. Пример последовательности, представляющей сумму взвешенных и задержанных единичных импульсов

В общем случае произвольная последовательность записывается в виде