4.7.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ТРАНСПОЗИЦИИ

Полезное свойство цифровых цепей состоит в том, что они являются взаимообратимыми с их транспозицией. Чтобы показать это, напомним (§ 4.4), что транспозиция (обращение) направленного графа производится путем изменения на обратное направлений всех ветвей при сохранении их передач неизменными.

Рассмотрим цифровую цепь, в которой обозначает узловую переменную узла. Передача из узла к узлу обозначается т. е.

В обращенной цепи узловая переменная узла обозначается а передача между узлами и обозначается так что

По определению обращенной цепи, Чтобы доказать, что цепь и ее обращенная форма являются взаимообратимыми, т. е. показать, что (4.68) остается в силе для вышеуказанных условий, используем тот факт, что цепь и ее обращенная форма имеют одинаковую топологию, т. е. имеет силу теорема Теледжена (4.65). Таким образом,

Подставив (4.69) и (4.70) в (4.71), получим

или

Переменив индексы суммирования в первой двойной сумме в (4.72), получим

Однако, поскольку цепи со штрихом и без штриха являются обращенными, то и поэтому двойная сумма равна нулю:

Это доказывает, что цепь и ее обращенная форма являются взаимообратимыми.

Интересным следствием этого факта является то, что для цепей типа «один вход — один выход» цепь и ее обращенная форма имеют ту же самую передаточную функцию. Этот результат может также быть получен из формулы Мезона для передачи сигнальных графов [1] он был использован в § 4.3 и 4.4 для получения новых реализаций цепи.

Чтобы показать, что этот результат следует из (4.74), рассмотрим любые два узла Кроме того, пусть все истоковые узлы, кроме будут нулевыми в исходной (без штриха) цепи и все истоковые узлы, кроме будут нулевыми в обращенной (со штрихом) цепи. Тогда из (4.74)

Отсюда следует, что если одно и то же возбуждение прикладыва-вается в узле а исходной цепи и в узле обращенной цепи, то одинаковый отклик будет наблюдаться в узле а обращенной цепи и в узле исходной цепи