4.7.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ТРАНСПОЗИЦИИ
Полезное свойство цифровых цепей состоит в том, что они являются взаимообратимыми с их транспозицией. Чтобы показать это, напомним (§ 4.4), что транспозиция (обращение) направленного графа производится путем изменения на обратное направлений всех ветвей при сохранении их передач неизменными.
Рассмотрим цифровую цепь, в которой
обозначает узловую переменную
узла. Передача из узла
к узлу
обозначается
т. е.
В обращенной цепи узловая переменная
узла обозначается
а передача между узлами
и
обозначается
так что
По определению обращенной цепи,
Чтобы доказать, что цепь и ее обращенная форма являются взаимообратимыми, т. е. показать, что (4.68) остается в силе для вышеуказанных условий, используем тот факт, что цепь и ее обращенная форма имеют одинаковую топологию, т. е. имеет силу теорема Теледжена (4.65). Таким образом,
Подставив (4.69) и (4.70) в (4.71), получим
или
Переменив индексы суммирования в первой двойной сумме в (4.72), получим
Однако, поскольку цепи со штрихом и без штриха являются обращенными, то
и поэтому двойная сумма равна нулю:
Это доказывает, что цепь и ее обращенная форма являются взаимообратимыми.
Интересным следствием этого факта является то, что для цепей типа «один вход — один выход» цепь и ее обращенная форма имеют ту же самую передаточную функцию. Этот результат может также быть получен из формулы Мезона для передачи сигнальных графов [1] он был использован в § 4.3 и 4.4 для получения новых реализаций цепи.
Чтобы показать, что этот результат следует из (4.74), рассмотрим любые два узла
Кроме того, пусть все истоковые узлы, кроме
будут нулевыми в исходной (без штриха) цепи и все истоковые узлы, кроме
будут нулевыми в обращенной (со штрихом) цепи. Тогда из (4.74)
Отсюда следует, что если одно и то же возбуждение прикладыва-вается в узле а исходной цепи и в узле
обращенной цепи, то одинаковый отклик будет наблюдаться в узле а обращенной цепи и в узле
исходной цепи