3.2. СВОЙСТВА ДИСКРЕТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ

Аналогично преобразованиям Фурье и Лапласа сигналов с непрерывным временем и -преобразованию дискретных апериодических последовательностей дискретные ряды Фурье обладают важными свойствами, которые позволяют успешно применять их при обработке сигналов. Многие из них аналогичны свойствам -преобразования. Однако периодичность как так и приводит к некоторым важным отличиям. Кроме того, существует

дуальность между временной и частотной областями в ДРФ представлении, которая не имеет места в представлении последовательностей -преобразованием.

3.2.1. ЛИНЕЙНОСТЬ

Если две периодические последовательности с периодом, равным объединяются так, что то коэффициенты ДРФ представления определяются как

где все последовательности периодичны с периодом

3.2.2. СДВИГ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Если периодическая последовательность имеет коэффициенты Фурье то легко показать, что сдвинутая последовательность имеет коэффициенты Ясно, что любой сдвиг, превышающий период (т. е. нельзя отличить во временной области от меньшего сдвига по модулю

Вследствие того что коэффициенты ряда Фурье периодической последовательности представляют периодическую последовательность, аналогичные результаты справедливы для сдвига коэффициентов Фурье. А именно, значения периодической последовательности являются коэффициентами Фурье последовательности где I — целое число.

3.2.3 СВОЙСТВА СИММЕТРИИ

Как и в случае с преобразованием Фурье, рассмотренном в гл. представления периодической последовательности имеется ряд свойств симметрии. Вывод этих свойств сходен по форме с выводами в гл. 1, и они приводятся ниже.

Если у комплексной последовательности коэффициенты Фурье равны то у последовательности эти коэффициенты равны равны Следствием этого является то, что ДРФ для есть -сопряжен-но-симметричная часть а ДРФ для есть -сопряженно-антисимметричная часть Кроме того, ДРФ для есть а ДРФ для Из этого следует, что для действительной последовательности -четная последовательность, а -нечетная последовательность, а также амплитуда — четная последовательность, а фаза — нечетная. К тому же для действительной последовательности является ДРФ представлением для является ДРФ представлением для

3.2.4. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СВЕРТКА

Пусть и - две периодические последовательности периода с дискретными рядами Фурье соответственно. Мы хотим определить последовательность для которой ДРФ равен Чтобы найти это соотношение, отметим, что так что Тогда

Рассмотрим для Замечаем, что

где I — любое целое число. В результате получаем

Выражение (3.11а) показывает, что получается путем объединения способом, похожим на свертку. Важно, однако, отметить, что в противоположность свертке апериодических последовательностей последовательности входящие в (3.11а), периодичны по с периодом , следовательно, периодичны их произведения.

Суммирование производится только по одному периоду.

Этот тип свертки обычно называется периодической сверткой. Изменением индекса суммирования в (3.11а) можно показать, что

Рис. 3.6. Процедура формирования периодической свертки двух периодических последовательностей

(кликните для просмотра скана)

Иллюстрация процедуры формирования периодической свертки двух периодических последовательностей в соответствии с (3.11а) дается на рис. 3.6. При этом типе свертки, когда один период выходит из интервала, на котором вычисляется свертка, следующий период входит в него.

Если поменять ролями время и частоту, получим почти идентичный результат, т. е. периодическая последовательность где — периодические последовательности периода имеет коэффициенты Фурье, определяемые формулой

и равные с точностью до коэффициента периодической свертке